Главная Математика, химия, физика
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
|
|
||||||
Основные свойства колецПрежде всего отметим, что для аддитивной группы кольца К справедливы все свойства аддитивных групп. Рассмотрим свойства колец, связанные с умножением. 1. (Свойство нуля). Для любого элемента а кольца К а ? 0 = = 0 • а = 0. Доказательство, а ? 0 = а( 0 + 0)=а-0 + а- 0=>а-0 = а0 + + а • 0. Прибавив к обеим частям этого равенства по -(а • 0), получим 0 = а • 0. Подобным же образом доказывается, что 0 ? а = 0. 2. (Правила знаков). Для любых элементов а и Ь кольца К имеют место равенства (-а)Ь = а(-Ь) = -(аЬ), (—а) (—b) = ab. Доказательство. Имеем: ab + (-а)Ь = (а + (-а))Ь = 0 Ъ = 0 => => (-а)Ь = —(аЬ); аналогично доказывается, что а(-Ь) = —(аЬ). Используя доказанное, получаем (-а)(-Ь) = -(а(-Ь)) = = -(-(аЬ)) = ab. Определение 2.4. Вычитанием в кольце К называется бинарная операция «-», которая задается формулой а -Ъ = а + + (-Ь) для любых а,ЬеК. 3. Умножение в кольце дистрибутивно относительно вычитания: (а - b)c = ас-Ьси с(а - b) =са - cb для любых а,Ь е К. Доказательство. Пользуясь определением вычитания, дистрибутивностью умножения относительно сложения и правилами знаков, получаем (а - Ь)с = (а + (—Ь))с = ас + (-Ь)с = = ас + (-(Ьс)) = ас - Ьс. Аналогично доказывается второе равенство. Контрольные вопросы
ЗадачиСреди данных множеств, рассматриваемых относительно сложения и умножения, укажите кольца. Отметьте коммутативность или некоммутативность кольца, наличие или отсутствие делителей нуля, делителей единицы.
чисел').
|
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|