Основные свойства полей
Прежде всего отметим, что для аддитивной и мультипликативной групп поля Р выполняются доказанные ранее свойства групп. Отсюда следуют единственность в поле нуля 0 и единицы 1, для любого а е Р единственность противоположного элемента -а и если а ^ 0, то единственность обратного элемента а-1. Далее, поскольку всякое поле является кольцом, то все свойства колец имеют место и для полей. В частности, в поле можно рассматривать операцию вычитания.
Перейдем к рассмотрению специфических свойств полей, выделяющих их среди колец.
1. Для элементов аиЪ поля Р если ab - 0, то а - О или Ъ = О.
Другими словами, в поле нет делителей нуля.
Доказательство. Если а = 0, то доказывать нечего. Предположим, что а # 0. Тогда существует cr1 е Р. Умножив равенство ab = 0 на сг1, получим b = 0.
2 (свойство сократимости). В поле если ас - Ъс и с Ф 0, то а = Ь.
Доказательство. Поскольку с -Ф- 0, то существует с-1. Умножив равенство ас = Ьс на с-1, получим а = Ь.
Определение 2.8. Для любых элементов а и b Ф 0 поля Р произведение air1 называется отношением этих элементов,
или дробью, и записывается в виде При этом а называется
о
числителем, ab — знаменателем дроби. Сопоставление всякой упорядоченной паре элементов (а, Ь) элемента ab-1 называется делением. При этом пишут: а : Ъ = ab-1. Легко видеть, что на множестве Р* всех элементов поля, отличных от нуля, деление является бинарной операцией.
Подчеркнем, что знаменатель дроби не равен нулю.
- 3. Свойства дробей.
- 3.1 (условие равенства дробей). — = — тогда и только тогда,
b d
когда ad = be.
Доказательство. Пользуясь определением дроби, получаем
3.2 (основное свойство дроби). — = —.
be b
3.3 (правило сложения дробей). ^-±^ = QC^~ С. Доказательство.
3.4 (правило умножения дробей). —
b d bd
Упражнение 2.5. Докажите самостоятельно свойства 3.2 и 3.4.
Контрольные вопросы
- 1. Кольца находятся среди полей или поля среди колец?
- 2. Если поле содержит натуральные числа, то обязано ли оно содержать все рациональные числа?
- 3. Может ли поле содержать только один элемент?
- 4. Может ли поле содержать некоммутативное кольцо?
- 5. Может ли мультипликативная группа бесконечного поля содержать конечную подгруппу?
- 6. Во всяком ли поле имеет место тождество а2- Ь2 = (а + Ь)(а - Ь)?
Задачи
- 1. Среди множеств, указанных в задачах к параграфу 2.1, укажите примеры полей.
- 2. В поле Zy решите уравнения 2 х = 3,3 х = 3, З х = 2,5 х2-2 = 0. Решите эти же уравнения в полях Z5 и Z17.
- 3. Докажите, что конечное коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, и без делителей нуля является полем.
- 4. Выясните, может ли мультипликативная группа числового поля быть циклической.
- 5. Опишите порядки элементов аддитивной и мультипликативной групп поля рациональных чисел.
- 6. Найдите порядки элементов аддитивной и мультипликативной групп поля Zy.
