Основные свойства полей

Прежде всего отметим, что для аддитивной и мультипликативной групп поля Р выполняются доказанные ранее свойства групп. Отсюда следуют единственность в поле нуля 0 и единицы 1, для любого а е Р единственность противоположного элемента -а и если а ^ 0, то единственность обратного элемента а^-1. Далее, поскольку всякое поле является кольцом, то все свойства колец имеют место и для полей. В частности, в поле можно рассматривать операцию вычитания.

Перейдем к рассмотрению специфических свойств полей, выделяющих их среди колец.

1. Для элементов аиЪ поля Р если ab - 0, то а - О или Ъ = О.

Другими словами, в поле нет делителей нуля.

Доказательство. Если а = 0, то доказывать нечего. Предположим, что а # 0. Тогда существует cr¹ е Р. Умножив равенство ab = 0 на сг¹, получим b = 0.

2 (свойство сократимости). В поле если ас - Ъс и с Ф 0, то а = Ь.

Доказательство. Поскольку с -Ф- 0, то существует с^-1. Умножив равенство ас = Ьс на с^-1, получим а = Ь.

Определение 2.8. Для любых элементов а и b Ф 0 поля Р произведение air¹ называется отношением этих элементов,

или дробью, и записывается в виде При этом а называется

о

числителем, ab — знаменателем дроби. Сопоставление всякой упорядоченной паре элементов (а, Ь) элемента ab^-1 называется делением. При этом пишут: а : Ъ = ab^-1. Легко видеть, что на множестве Р* всех элементов поля, отличных от нуля, деление является бинарной операцией.

Подчеркнем, что знаменатель дроби не равен нулю.

• 3. Свойства дробей.
• 3.1 (условие равенства дробей). — = — тогда и только тогда,

b d

когда ad = be.

Доказательство. Пользуясь определением дроби, получаем

3.2 (основное свойство дроби). — = —.

be b

3.3 (правило сложения дробей). ^-±^ = ^QC^~ ^С. Доказательство.

3.4 (правило умножения дробей). —

b d bd

Упражнение 2.5. Докажите самостоятельно свойства 3.2 и 3.4.

Контрольные вопросы

• 1. Кольца находятся среди полей или поля среди колец?
• 2. Если поле содержит натуральные числа, то обязано ли оно содержать все рациональные числа?
• 3. Может ли поле содержать только один элемент?
• 4. Может ли поле содержать некоммутативное кольцо?
• 5. Может ли мультипликативная группа бесконечного поля содержать конечную подгруппу?
• 6. Во всяком ли поле имеет место тождество а²- Ь² = (а + Ь)(а - Ь)?

Задачи

• 1. Среди множеств, указанных в задачах к параграфу 2.1, укажите примеры полей.
• 2. В поле Zy решите уравнения 2 х = 3,3 х = 3, З х = 2,5 х²-2 = 0. Решите эти же уравнения в полях Z₅ и Z₁₇.
• 3. Докажите, что конечное коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, и без делителей нуля является полем.
• 4. Выясните, может ли мультипликативная группа числового поля быть циклической.
• 5. Опишите порядки элементов аддитивной и мультипликативной групп поля рациональных чисел.
• 6. Найдите порядки элементов аддитивной и мультипликативной групп поля Zy.