Главная Математика, химия, физика
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ
|
|
||||||
Основные свойства полейПрежде всего отметим, что для аддитивной и мультипликативной групп поля Р выполняются доказанные ранее свойства групп. Отсюда следуют единственность в поле нуля 0 и единицы 1, для любого а е Р единственность противоположного элемента -а и если а ^ 0, то единственность обратного элемента а-1. Далее, поскольку всякое поле является кольцом, то все свойства колец имеют место и для полей. В частности, в поле можно рассматривать операцию вычитания. Перейдем к рассмотрению специфических свойств полей, выделяющих их среди колец. 1. Для элементов аиЪ поля Р если ab - 0, то а - О или Ъ = О. Другими словами, в поле нет делителей нуля. Доказательство. Если а = 0, то доказывать нечего. Предположим, что а # 0. Тогда существует cr1 е Р. Умножив равенство ab = 0 на сг1, получим b = 0. 2 (свойство сократимости). В поле если ас - Ъс и с Ф 0, то а = Ь. Доказательство. Поскольку с -Ф- 0, то существует с-1. Умножив равенство ас = Ьс на с-1, получим а = Ь. Определение 2.8. Для любых элементов а и b Ф 0 поля Р произведение air1 называется отношением этих элементов, или дробью, и записывается в виде При этом а называется о числителем, ab — знаменателем дроби. Сопоставление всякой упорядоченной паре элементов (а, Ь) элемента ab-1 называется делением. При этом пишут: а : Ъ = ab-1. Легко видеть, что на множестве Р* всех элементов поля, отличных от нуля, деление является бинарной операцией. Подчеркнем, что знаменатель дроби не равен нулю.
b d когда ad = be. Доказательство. Пользуясь определением дроби, получаем ![]() 3.2 (основное свойство дроби). — = —. be b 3.3 (правило сложения дробей). ^-±^ = QC^~ С. Доказательство. ![]() 3.4 (правило умножения дробей). — b d bd Упражнение 2.5. Докажите самостоятельно свойства 3.2 и 3.4. Контрольные вопросы
Задачи
|
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|