Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦАХ

Основные понятия теории делимости в области целостности

Область целостности

Вспомним, что в поле Р, если а Ф 0 иЬ Ф_ 0^ тоаЬ ?М)._А вот в кольце классов вычетов К = Z6 имеем 2 Ф 0, 3 Ф 0, но 2 • 3 = 0.

Таким образом, в любом_поле нет делителей нуля, а в кольце К = Z6 классы вычетов 2 и 3 являются делителями нуля.

Определение 3.1. Областью целостности называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, и без делителей нуля.

Кольцо целых чисел Z является областью целостности. Кольцо Z + Ш = {а + Ы a, b е Z} целых комплексных (гауссовых) чисел также является областью целостности. Всякое поле есть область целостности. Если К — область целостности, то кольцо многочленов Кх также является областью целостности. Не является областью целостности, например, кольцо четных целых чисел, поскольку оно не содержит единицы. Не является областью целостности кольцо квадратных матриц порядка п > 1, поскольку оно не коммутативно. Заметим, что нулевое кольцо — это единственное кольцо, в котором нуль равен единице. Оно не является областью целостности.

Кольцо Ът классов вычетов по модулю т является областью целостности тогда и только тогда, когда т=р — простое число. В этом случае кольцо Zp является полем.

Докажем основное свойство области целостности, выделяющее ее среди колец.

Свойство сократимости. Для любых элементов а, b и с Ф

Ф 0 области целостности К если ас = Ьс или са = cb, то а = Ь.

Доказательство. Пусть ас = Ьс. Тогда ас - Ьс = 0, откуда (а - Ь)с = 0, а так как с Ф 0 и в области целостности нет делителей нуля, то я - b = О, откуда а-Ь. Аналогично доказывается, что из равенства са - cb следует а-Ь. Свойство доказано.

Подобно тому как, пополняя целые числа дробями, мы получаем поле рациональных чисел, можно произвольную область целостности вложить в поле отношений. Докажем это.

Теорема 3.1 (о вложении области целостности в поле). Всякая область целостности изоморфна подкольцу некоторого поля.

Доказательство. Пусть дана область целостности К. Для любых элементов а,Ъ е К, где b ^ 0, рассмотрим упорядоченную пару (а, Ь). Для двух таких пар определим (а, Ь) ~ (аг, Ьх) <=> <=> яЬх = Ъа1. Легко видеть, что это отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно, а значит, является отношением эквивалентности. По этому отношению множество всех упорядоченных пар {(а, Ь) | а, b е К, b Ф 0} распадается на классы

эквивалентных пар. Обозначим через — и назовем дробью класс

Ъ

пар, эквивалентных паре (а, b). Множество всех дробей (классов эквивалентных пар) обозначим через Р. Две дроби — и —

b bj

будем называть равными и писать

a _ О] b bj

, если (а, Ь) ~ (ях, Ьх).

Таким образом, ^ = <=> яЬх = Ьях.

b by

Определим на Р операции сложения и умножения, положив

а с ad + bc а с ас _ а ах с с,

- + -= , . , Легко доказать, что если - = -А - = -г-,

b a bd b a bd b by а ях

Я С Я-i Ci Я С fli Ci _ „

то—+ — = — + — и---. Проверкой устанавливаем, что

b a b] dx b a by щ

система (Р, +, •) является полем, а отображение /: я —»— для всех а е К является изоморфизмом области целостности К на подкольцо Ку = | я е /с|. Теорема доказана.

Построенное в доказательстве теоремы поле (Р, +, ?) называется полем отношений области целостности К.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>