Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Факториальность евклидова кольца

Сначала установим конечность процесса разложения на множители в евклидовом кольце. Поможет нам в этом следующая лемма.

Лемма 3.3. Если в евклидовом кольце К для элементов а, Ъ, с е К имеем О Ф а = b ? с, где b и с отличны от делителей единицы, то h(a) > b(b).

Доказательство. Если предположить, что b : а, то b = ad при некотором d е К, откуда а = Ь ? с = adc и, сокращая на а Ф ф 0, получаем 1 = dc. Следовательно, с оказывается делителем единицы, что противоречит условию. Таким образом, b не делится на а. Тогда b = aq + г, где b(r) < h(a). Используя условие, получаем b = bcq + г, откуда г = b(l - cq), и по свойству нормы b(r) > b(b). Таким образом, b(b) < b(r) < b(a). Лемма доказана.

Теорема 3.8. Всякий элемент евклидова кольца, отличный от нуля и делителей единицы, либо является простым, либо представим в виде произведения простых множителей.

Доказательство. Пусть К — евклидово кольцо и элемент а е е К отличен от нуля и делителей единицы. Если элемент а простой, то доказывать нечего. Если а составной, то он представим в виде произведения a-b-с, где b и с не являются делителями единицы. Тогда по лемме 3.3 b(b) < b(a), h(c) < b(a), и это обеспечивает конечность процесса разложения элемента а на множители. Следовательно, через конечное число шагов мы получим разложение элемента а на простые множители. Теорема доказана.

Теперь перейдем к доказательству единственности разложения на простые множители в евклидовом кольце. Поможет нам в этом следующая лемма.

Лемма 3.4 (ключевая). Если рпростой элемент евклидова кольца К, а, b е К и ab : р, то а : р или b : р.

Доказательство. Пусть НОД (а, р) = d, тогда р : d. Делителями простого элемента р являются лишь е и ер, где ? — делитель единицы. Если d = ер, то а : d : р. Если же d = е, то НОД(а, р) = = 1. В этом случае, по теореме 3.6, существуют элементы и, v е К, такие что а ? и + р ? v - 1. Умножив это равенство на Ъ, получим ab ? и + pb ? v - Ь. Так как pbv : р и, по условию, ab : р, то Ъ : р. Лемма доказана.

Теперь у нас все готово для доказательства основной теоремы.

Теорема 3.9. Евклидово кольцо факториально.

Доказательство. Пусть а — ненулевой, отличный от делителя единицы элемент евклидова кольца К. Возможность его разложения на простые множители доказана в теореме 3.8. Пусть имеем два разложения элемента а в произведение простых множителей: а = PiP2'"Pk и а = цд2--дт. Тогда р^р2--рк = ЦДг'Дт- Отсюда следует, что произведение (PiP2"'Pfc) : pv Пусть ра : qv По свойству простых элементов (см. подпараграф 3.2.1) отсюда следует, что qx = EjPj, где ?j — делитель единицы. Следовательно, PiP2---Pk = eiPicl2"'clm и после сокращения получаем p2-"Pk = ei<?2"'<3т ? Теперь повторим рассуждения относительно простого элемента q2 и придем к равенству р3-- Р(. = " Чт ? Если предположить, что к Ф т,

то, не нарушая общности, можно считать, что к < т . Но тогда на к-м шаге получим равенство 1 = ?^2• • -?кЧк+i'"Qm ? Отсюда следует, что элемент qm обратим, что противоречит определению простого элемента. Следовательно, fc = m и q, = ер,, i = 1, 2,..., к, при подходящей нумерации сомножителей. Теорема доказана.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>