Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Контрольные вопросы

  • 1. Будет ли евклидовым подкольцо евклидова кольца?
  • 2. Могут ли в евклидовом кольце при делении а на b двумя способами остатки быть одинаковыми, а неполные частные — различными?
  • 3. Может ли не факториальное кольцо быть евклидовым?
  • 4. Существует ли область целостности, в которой процесс разложения на нетривиальные множители (представление в виде а = a1b1 = а1а2Ь2 = ...) бесконечен?
  • 5. Какими способами можно найти НОД в евклидовом кольце?

Задачи

  • 1. Докажите, что для нахождения НОД (а, Ь) целых неотрицательных чисел а и b можно использовать следующий алгоритм: если а > Ъ > О, то а заменяем на разность а1=а-Ь и переходим к рассмотрению пары (а]; Ь), пока одно из чисел пары не окажется равным нулю. Тогда второе число является НОД данных чисел.
  • 2. Докажите, что в определении евклидова кольца требование наличия единицы в кольце можно убрать, поскольку существование единицы вытекает из остальных условий.
  • 3. Докажите, что для любых элементов а, Ь, с евклидова кольца К имеет место равенство НОД(НОД(а, b), с) = НОД(а, НОД(Ь, с)).
  • 4. Докажите, что в евклидовом кольце НОД(а, Ь) = 1<=> НОД т, Ь”) = = 1 для т,пе N.
  • 5. Известно, что в алгоритме Евклида, примененном к элементам а, Ъ евклидова кольца К, на пятом шаге делений с остатком получили остаток, равный нулю. Найдите линейную форму НОД (а, Ъ).
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>