Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ

Алгебраический над данным полем элемент и его минимальный многочлен

Алгебраические и трансцендентные элементы над полем

Введем основные понятия.

Определение 4.1. Если поле Р является подполем поля F, то F называется расширением поля Р. При этом элементы из F Р называются иррациональными над полем Р.

Определение 4.2. Пусть поле F является расширением поля Р. Элемент а е F называется алгебраическим над полем Р, если существует ненулевой многочлен Дх) е Р[х], имеющий а своим корнем. В противном случае элемент а называется трансцендентным над полем Р. Числа алгебраические (трансцендентные) над полем Q называются просто алгебраическими (соответственно трансцендентными).

Определение 4.3. Пусть поле F является расширением поля Р. Элемент а е F Р, являющийся алгебраическим над полем Р, называется алгебраической иррациональностью над полем Р.

Рассмотрим примеры.

  • 1. Числа 72, у/5, п, е,2п + 1 являются иррациональными над полем Q, или просто иррациональными. Из них только первые два являются алгебраическими иррациональностями над полем Q, а остальные трансцендентны над Q. Всякое трансцендентное число является иррациональным.
  • 2. Докажем, что число 72 +3i является алгебраическим. Обозначим а = 72 + 3i и возведем равенство в квадрат: а2 = 2 + + 6iT2-9. Отсюда а2 + 7 = 6iT2. Снова возведем в квадрат: (а2 + 7)2 = -72, а4 + 14а2 + 49 = -72, а4 + 14а2 + 121 = 0. Следовательно, число а является корнем многочлена х4 + 14х2 + 121, а значит, является алгебраическим числом.
  • 3. Всякое мнимое число (с ненулевой мнимой частью) является алгебраической иррациональностью над полем R.
  • 4. Заметим, что всякий элемент а поля Р является алгебраическим над Р, так как он является корнем многочлена х - а с коэффициентами из Р.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>