Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Минимальный многочлен алгебраического элемента

По определению, алгебраический над полем Р элемент является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из Р. Выделим из этих многочленов один.

Определение 4.4. Минимальным многочленом алгебраического над полем Р элемента а называется приведенный многочлен с коэффициентами из Р наименьшей степени, имеющий корень а.

Напомним, что многочлен называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Теорема 4.1. Имеют место следующие утверждения.

  • 1. Для любого алгебраического над полем Р элемента а существует и притом только один минимальный многочлен ср(х).
  • 2. Минимальный многочлен ср(х) неприводим над полем Р.
  • 3. Для любого многочлена/(х) е Р[х] имеем:
  • 3.1) либо f(х) делится на ф(х), либо НОД(Дх), ф(х)) = 1;
  • 3.2) многочлен /(х) делится на ф(х) тогда и только тогда, когда /(а) = 0;
  • 3.3) НОД(f(x), ф(х)) = 1 тогда и только тогда, когда а) Ф 0.

Доказательство. 1. Пусть а — алгебраический элемент над

полем Р. Это означает, что а является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из поля Р. Из всех таких многочленов выберем многочлен наименьшей степени и разделим его на старший коэффициент. В результате получим минимальный многочлен ф(х).

Пусть фг(х) — также минимальный многочлен элемента а. Тогда степени многочленов ф(х) и ф2(х) равны. Напомним, что их старшие коэффициенты равны единице. Если предположить, что фх(х) Ф ф(х), то ф2(х) - ф(х) — ненулевой многочлен, имеющий корень а, и его степень меньше степени многочлена ф(х), что противоречит определению минимального многочлена. Следовательно, фх(х) = ф(х), что доказывает единственность минимального многочлена.

  • 2. Предположим, что минимальный многочлен ф(х) приводим, пусть ф(х) =/(х) • h(x), где степени сомножителей меньше степени многочлена ф(х). Но тогда Да) • h( а) = ф(а) = 0, а так как в поле нет делителей нуля, то/(а) = 0 или h (а) = 0. Но то и другое противоречит минимальности степени многочлена ф(х). Следовательно, минимальный многочлен ф(х) неприводим.
  • 3.1. Обозначим (Дх), ф(х)) = d(x). Тогда ф(х) : d(x). Значит, существует многочлен q(x) е Р[х], такой что ф(х) = d(x) ? q(x). Очевидно, 0 < deg(d(x)) < deg(ф(x)). Рассмотрим все возможные случаи относительно степени многочлена d(x):
  • 1) deg(d(x)) = 0. Тогда d(x) = d е Р, откуда (f(x), ф(х)) = 1, что и требовалось доказать;
  • 2) deg(d(x)) = deg(lp(x)). Тогда deg(q(x)) = 0, а значит, q(x) = = q е Р, q Ф 0. Но тогда ф(х) = d(х) • q, откуда d(x) = ф(х) • q_1 и/(х) : d(x) : ф(х), что и требовалось доказать;
  • 3) наконец, предположим, что 0 < deg(d(x) < deg(^(x)). Имеем: 0 = ф(а) = d(a) • q(a), откуда d(a) = 0 или q(a) = 0. Но то и другое противоречит минимальности степени минимального многочлена ф(х). Свойство доказано.
  • 3.2. (=>) Пусть Дх) : ф(х), тогда Дх) = ф(х) • Дх) при некотором Дх) е Р[х]. Но тогда Да) = ф(а) • Да) = 0.
  • (<=) Пусть Да) = 0. Разделим Дх) на ф(х) с остатком: Дх) = = ф(х) • q(x) + г(х). Если предположить, что г(х) ^ 0, то deg(r(x)) < < deg(^(x)) и 0 =Да) = ф(а) • q(a) + г(а). Поскольку ф(а) = 0, то г(а) = 0. Пришли к противоречию с минимальностью степени многочлена ф(х). Свойство доказано.
  • 3.3. Это свойство доказывается от противного с использованием свойства 3.2. Вместе с тем теорема доказана.

Легко доказать, что приведенный неприводимый на полем Р многочлен, имеющий корень а, является минимальным многочленом элемента а.

Определение 4.5. Степенью алгебраического над полем Р элемента а называется степень его минимального многочлена.

Примеры:

  • • степени алгебраических чисел -1, %/з, ^5 над полем Q равны, соответственно, 1, 2, 4;
  • • степень алгебраического над полем Q числа V2 + 3i равна четырем, поскольку его минимальный многочлен х4 + 14х2 + + 121 имеет степень 4.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>