Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

Рассмотрим задачу из алгебры многочленов.

Задача 4.1

Пусть а является корнем многочлена х3 + 6х - 3. Нужно освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

—--, т.е. представить дробь в виде многочлена от а с рацио-

а2 + 5

нальными коэффициентами.

Решение. Знаменатель дроби есть значение от а многочлена fix) =х2 + 5, а минимальным многочленом алгебраического элемента а является ф(х) 3 + 6х- 3, поскольку этот многочлен неприводим над полем Q (по критерию Эйзенштейна при простом р = 3). Найдем НОДОс3 + - 3, х2 + 5) с помощью алгоритма Евклида:

Обобщим ситуацию и рассмотрим общую задачу.

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби

Пусть а — алгебраическая иррациональность над полем Р с ми-

, . „ акак +ak_,ak~l -f-. + aia + Oo

нимальным многочленом фОО и В = — -1

Ътат + bro-ioc"1-1 +... + bja + b0

где коэффициенты многочленов в числителе и знаменателе дроби принадлежат полю Р. Освободиться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби, т.е. представить (3 в виде

где коэффициенты принадлежат полю Р.

Решение. Обозначим/)*) = bnlx"< + bm_1xnl_1 +... + b}x + b0 и у =/(а). Поскольку у ^ 0, то по свойству минимального многочлена НОД(/(х), ф(х)) = 1. Используя алгоритм Евклида, находим многочлены u(x) и v(x), такие что f(x) и (х) + ф(х)у(х) = 1. Отсюда Да) и (а) + ф(а)у(а) = 1, а так как ф(а) = 0, тоДа)и(а) = 1. Следовательно, умножая числитель и знаменатель данной дроби на ц(а), в знаменателе получим единицу, и задача решена.

Заметим, что общий прием освобождения от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби в случае комплексных а + Ы

чисел-приводит к известной процедуре умножения числи-

c + di

теля и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Исторический экскурс

Впервые существование чисел, трансцендентных над полем Q, обнаружил Ж. Лиувилль (1809—1882) в работах 1844 и 1851 гг. Одним из трансцендентных чисел Лиувилля является число

. Ш. Эрмит (1822-

а= У——. Вдесятичнойзаписиа = 0Д100010..

кл 10*

1901) доказал трансцендентность числа е в 1873 г., а К. Ф. Линде- ман (1852—1939) доказал в 1882 г. трансцендентность числа п. Эти результаты были получены очень не просто. В то же время совсем просто Г. Кантор (1845—1918) доказал, что трансцендентных чисел «значительно больше», чем алгебраических: трансцендентных чисел «столько же», сколько всех действительных чисел, в то время как алгебраических чисел «столько же», сколько всех натуральных чисел. Точнее, множество алгебраических чисел счетно, а множество трансцендентных чисел несчетно. Доказательство этого факта, устанавливая существование трансцендентных чисел, не дает рецепта получения ни одного из них. Такого рода теоремы существования чрезвычайно важны в математике уже тем, что вселяют веру в успех поиска объекта, существование которого доказано. Вместе с тем существует направление в математике, представители которого не признают чистых теорем существования, называя их неконструктивными. Наиболее яркими из этих представителей являются Л. Кронекер и Я. Брауэр.

В 1900 г. на Всемирном конгрессе математиков в Париже немецкий математик Д. Гильберт (1862—1943) сформулировал следующую проблему 22: Какова природа числа аР, где а и (3 — алгебраические числа, а ^ 0, а ^ 1 и степень алгебраического числа (3 не меньше 2? А. О. Гельфонд (1906—1968) доказал, что такие числа трансцендентны. Отсюда следует, в частности, что числа 2^, Зг являются трансцендентными.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>