Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Степень расширения

Базис и степень расширения

Напомним, что векторным пространством над полем Р называется множество элементов V, называемых векторами, на котором определена операция сложения векторов, определено умножение произвольного вектора а е V на произвольный элемент а е Р со значением аа е V, причем выполнены следующие условия:

  • 1) система (V, +) является коммутативной группой;
  • 2) выполняется равенство ассоциативности: (ab)а = а(Ьа) для любых а,ЪеР и а <= V;
  • 3) выполняются равенства дистрибутивности: (а + Ь)а = = аа + Ьа и а(а + (3) = аа + а(3 для любых а, Ъ е Р и а, (3 е V;
  • 4) для единицы 1 поля Р и любого вектора а е V имеет место равенство 1а = а.

Базисом векторного пространства V над полем Р называется максимальная линейно независимая система векторов.

Любые два базиса векторного пространства содержат одинаковое количество векторов. Векторное пространство называется конечномерным, если оно имеет конечный базис. Конечномерное векторное пространство называется n-мерным, если его базис состоит из п векторов. Примером бесконечномерного векторного пространства является пространство многочленов от переменной х над полем Р, оно имеет бесконечный базис {1,х, х2,... }.

Легко видеть, что расширение F поля Р является векторным пространством над полем Р. В этом случае элементы поля F называются векторами, а элементы поля Р — скалярами.

Определение 4.6. Пусть поле F является расширением поля Р. Если система векторов S с F является базисом векторного пространства F над полем Р, то S будем называть базисом расширения F, а количество векторов базиса Sстепенью расширения F поля Р. Степень расширения F поля Р обозначается |Р : Р| (читается: степень поля F относительно поля Р). Если степень расширения бесконечна, то пишут |Р : Р| = а если степень расширения конечна, то расширение F называется конечным и пишут |Р : Р| < или более точно |Р : Р| = п.

Рассмотрим примеры.

  • 1. Пусть F = {а + bJ3 | a, b е Q}. Тогда поле F является расширением поля Q с базисом расширения S = {1, л/З}, а степень расширения |Р : Q | =2.
  • 2. Пусть G = |^) |/(x),g(x)eQ[x],g(x)*oj. Тогда поле G

является расширением поля Р с бесконечным базисом S = {1, л, л2, ...} и |G : Q| =

  • 3. |R : Q| = оо.
  • 4. |С : М| = 2 и базис расширения S = {1, i}.
  • 5. F-{а + Ь12 + с%/3 + d/6 а,Ъ,с,dе Q}, |F : Q| = 4 и одним из базисов расширения является S = {1, V2,7з, V6}.

Определение 4.7. Расширение F поля Р называется алгебраическим, если всякий элемент поля F является алгебраическим над полем Р.

Теорема 4.2. Всякое конечное расширение поля является алгебраическим.

Доказательство. Пусть поле F является конечным расширением поля Р и базис пространства F над полем Р состоит из п векторов. Известно, что в этом случае всякая система п + 1 векторов линейно зависима. Возьмем произвольный элемент а е F. Система {а0 = 1, а, а2,..., а"} содержит п + 1 векторов, а значит, линейно зависима. Следовательно, существуют элементы а0, аь ..., ап е Р, среди которых есть отличные от нуля, такие что а0 ? 1 + аа(х + ... + апап = 0. Но это означает, что элемент а является корнем ненулевого многочлена а,рсп + + ... + а0, т.е.

а — алгебраический элемент над полем Р. Теорема доказана.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>