Повторное расширение поля

Определение 4.8. Если поле F является расширением поля Р, а поле G является расширением поля F, то G называется повторным расширением поля Р.

Теорема 4.3. Если PqFqG, где поле F является расширением поля Р с базисом1; а2,..., сск}, а поле G является расширением поля F с базисом (Pj > Рг> •••» рт}, то система S = {а,Р; | г = 1, 2,..., к; j = 1, 2, ..., т} является базисом расширения G поля Р. Таким образом, G : Р| = |Р : Р| • |G : F.

Доказательство. Докажем сначала линейную независимость системы векторов S над полем Р. Для этого предположим, что ^ aya,Pj=0, где а$ е Р, и докажем, что каждый

i<;

1<]йт

коэффициент atj = 0. Запишем данную линейную комбинацию

т ( k "N к

по-другому: ? ]Г aya, Р; = 0. Поскольку ?a,(a, е F для любого

j=lVi=l / i=l

j = 1, 2,..., т, то имеем линейную комбинацию системы векторов {pj, f32, •••» Pm} наД полем F, а так как эта система векторов является базисом векторного пространства G над полем F, то

к

Y,aijai =0- Но система векторов {а1; а2, к} является бази-

i=i

сом векторного пространства F над полем Р. Следовательно, Оу = 0 для всех индексов i и j. Это доказывает линейную независимость системы S над полем Р.

Теперь докажем, что всякий вектор у е G линейно выражается через систему векторов S с коэффициентами из поля Р. Поскольку система векторов {(3,, |32, ..., |Зт} является базисом векторного простарнства G над полем F, то существуют эле-

т

менты bj е F,j = 1,2,..., т, такие что у = X Ь,[3;, а так как система

3=1

векторов {otj, а2,..., afc} является базисом векторного пространства F над полем Р, то для каждого Ь; существуют элементы btJ s

е Р, i = 1, 2,..., к, такие что b; = X^yai • Окончательно получаем

т ( к Л

у=Щ ЬуИ, Р;, что и требовалось доказать.

;=1 !=1

Таким образом, система векторов S является базисом векторного пространства G над полем Р. Отсюда следует, что | G : Р = = к ? т = F : Р ? |G:F|. Теорема доказана.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >