Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Составное расширение поля

До сих пор мы присоединяли лишь по одному элементу. Перейдем к естественному обобщению простого расширения поля.

Определение 4.10. Пусть поле F является расширением поля Р и а1; а2, ..., ап е F. Составным расширением поля Р с помощью присоединения элементов М =1; а2, ..., а,,} называется поле, которое получается из элементов поля Р и элементов множества М с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления.

Обозначение: Р(аь а2,..., а„). Если присоединяемые элементы алгебраические, то говорят о составном алгебраическом расширении поля.

Теорема 4.7. Составное алгебраическое расширение поля можно получить с помощью ряда повторных расширений.

Доказательство. Пусть ах, а2, ..., ап — алгебраические элементы над полем Р. Докажем, что Р(аь а2, ..., а„) = P(aj)(a2)... (а„). Поскольку? с Р(а1)(а2)...(ап), аа, а2, ..., ап е Р(а1)(а2)... («„), то Р(а1; а2,..., а„) с Р(ах)(а2)...(а„).

Обратное включение докажем индукцией по п. При п = 1 утверждение очевидно. Пусть уже доказано, что Рх = Р(аД (а2)...((*„_!) с Р(ах, а2, ..., ап_х), докажем, что Р2 = P(aj)(a2)... (a„) с P(aa, a2, ..., ап). По теореме о строении простого алгебраического расширения, всякий элемент Ре Р2 = Рх (а„) является линейной комбинацией степеней элемента а„ с коэффициентами из поля F1. По индуктивному предположению, Рх с Р(аь а2,..., а„_х) с Р(аь а2,..., ос,,_г, а„). Следовательно, Р2 = F1(an) с с Р(аь а2,..., аГ!). Таким образом, Р(аь а2,..., a„) =P(a1)(a2)... (a„). Теорема доказана.

Рассмотрим составные расширения числовых полей. Начнем с примера.

Пример 4.2

Докажем, что составное алгебраическое расширение Q(f2, /з) можно получить присоединением к Q одного элемента о. = 42 + 4з. В самом деле, числа 42и4з можно получить в виде линейных комбинаций степеней 1 = а0, а, а2, а3. (Докажите!)

Следовательно, <0>(л/2,4з) с Q(V2 + 4з). Обратное включение очевидно. Элемент а в этом случае называется примитивным.

Докажем существование такого элемента в значительно более общей ситуации.

Теорема 4.8 (о примитивном элементе). Составное алгебраическое расширение числового поля является простым.

Доказательство. Пусть Р — числовое поле. Докажем, что составное алгебраическое расширение F = Р(a, Р) является простым, т.е. существует примитивный элемент 0 е F, такой что Р(а, Р) = Р(0). Пусть Дх) и g(x) — минимальные многочлены элементов соответственно а и Р над полем Р. Пусть otj = а, а2, ..., ак — все различные корни многочлена Дх) и Рх = Р, р2, ..., Рт — все различные корни многочлена g(x). Рассмотрим уравнения а; + хР; = а + хР для всех 1 < i < к и 1 < j < т. Предположим, что одно из этих уравнений имеет два различных корня Cj и с2. Тогда а; + CjPj = а + схР и а, + с2Р; = а + с2р. Вычитая из первого равенства второе, получим (cj - с2; = (сх - с2)Р, откуда Р, = Р = Рх, что противоречит условию. Следовательно, каждое из рассматриваемых уравнений имеет в Р не более одного решения. Поскольку поле Р бесконечно, то существует элемент с е Р, который не является корнем ни одного из данных уравнений. Обозначим 0 = а + сР и докажем, что Р(а, Р) = Р(0). Очевидно, Р(а, Р) з Р(0).

Докажем обратное включение. Для элемента Р имеем: g(P) = 0 и Д0 - сР) =Да) = 0. Следовательно, Р является общим корнем многочленов g(x) и Д0 - сх), а значит, х - Р является общим множителем этих многочленов. Но тогда НОД(Дх), Д0 - сх)) = d(x) : (х - р). Предположим, что кроме х - Р в разложении многочлена d(x) на линейные множители существует множитель х - Р, при некотором; = 1,..., т. ТогдаД0 - сР;') = 0.

Следовательно, существует номер i, такой что а, = 0 - ср;, откуда а + сР = 0 = а,- + сР;. Если предположить, что Р( Ф Р, то приходим к противоречию с выбором элемента с. Следовательно, Р- = Р и Р оказывается кратным корнем многочлена F. Но этот многочлен неприводим над полем Р, а значит, взаимно прост со своей производной и не может иметь кратных корней. Таким образом, НОД(?(х),/(0 - сР)) = х - р. Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух многочленов показывает, что коэффициенты многочлена, являющегося НОД, принадлежат тому же полю, что и коэффициенты многочленов g(x) и/(0 - сх), т.е. полю Р(в). Следовательно, р е Р(0). Но тогда а е Р(0). Таким образом, доказано включение Р(а, Р) с Р(0), а вместе с тем и равенство Р(а, Р) = Р(0).

Пусть теперь дано составное алгебраическое расширение F числового поля Р. Тогда F = Р(а, Р, у, ..., S) и, по доказанному, Р(а, р, у,..., 8) = Р(а, р)(у,..., 8) = P(0j)(y,..., 8) = ... = Р(0„).

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>