Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Поле алгебраических чисел

Напомним, что алгебраическим числом называется число a ? С, которое является алгебраическим над полем Q, т.е. является корнем некоторого многочлена с рациональными (а значит, и некоторого многочлена с целыми) коэффициентами. Обозначим через РА множество всех алгебраических чисел и докажем его основные свойства.

Теорема 4.9. Множество РА всех алгебраических чисел относительно сложения и умножения образует поле.

Доказательство. Пусть a, Р е РА. Поскольку а и Р являются алгебраическими над полем Q, то расширения Q(a) и Q(P) конечны. Но тогда составное расширение Q(a, Р) является конечным, а значит, алгебраическим. Отсюда следует, что элементы а ± р и ар-1 при Р Ф 0 являются алгебраическими, а значит, принадлежат множеству РА. Тем самым доказано, что РА является полем.

Напомним, что поле Р называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен степени >1 с коэффициентами из этого поля имеет в нем по крайней мере один корень. Известно, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто (основная теорема алгебры).

Теорема 4.10. Поле алгебраических чисел РА алгебраически замкнуто.

Доказательство. Рассмотрим многочлен а„хп + a„_jjcnl + ... + + ape + a0 е РА[х] степени n > 1. По основной теореме алгебры этот многочлен имеет корень а. Поскольку коэффициенты многочлена — алгебраические числа, то составное алгебраическое расширение Р = Q(a„, ап_ь ..., аь а0) конечно, а так как элемент а алгебраический над Р, то и расширение Р(а) конечно. Но тогда конечным является расширение Q(a„, ап_ь ..., аг, а0, а), а значит, оно является алгебраическим расширением поля Q. Отсюда следует, что а является алгебраическим числом, т.е. а е РА. Следовательно, поле РА алгебраически замкнуто. Теорема доказана.

Теорема 4.11. Степень поля алгебраических чисел относительно поля рациональных чисел бесконечна: | РА : Q | = °°.

Доказательство. Предположим противное, пусть |РА : Q| = = п. Рассмотрим многочлен хт - 2, где т > п. Он неприводим над полем Q (по критерию Эйзенштейна). Его корень а является алгебраическим числом степени т. Следовательно, степени этого числа 1, а, а2, ..., am_1 линейно независимы над полем Q — пришли к противоречию, ибо по предположению размерность векторного пространства РА над полем Q равна п.

Контрольные вопросы

  • 1. Каковы степени неприводимых над полем алгебраических чисел многочленов?
  • 2. Какими могут быть степени минимальных многочленов алгебраических чисел?
  • 3. ПустьРд—поле алгебраических чисел и многочлченДх) е РА[х] имеет степень л. Сколько сомножителей в разложении данного многочлена на неприводимые над полем РА множители?
  • 4. Число а является корнем многочлена x3y[3-x2 + ix + 7. Чему может равняться степень расширения РА(а) поля алгебраических чисел РА?
  • 5. Содержит ли мультипликативная группа поля алгебраических чисел элементы порядков 2, 3, 4, 5, бесконечного порядка, произвольного порядка?
  • 6. Для всякого ли конечного расширения F поля Q существует алгебраическое число, не принадлежащее F?
  • 7. Всякое ли конечное расширение поля Q содержится в поле алгебраических чисел?
  • 8. Верно ли, что сумма (произведение) двух корней двух многочленов с целыми коэффициентами сама является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами?
  • 9. Будут ли алгебраическими числа 2 + iV5, ^ J-, 2 - ni, ^2-Тз,

sin30°, sin60° + cos30°?

10. Если число а алгебраическое,/(x),g(x) е Q[x],g(a) ф 0, то будет

ли алгебраическим число ~^°^?

g(a)

Задачи

  • 1. Пусть a = -Jl + л/з + V5. Найдите алгебраическое число, не принадлежащее Q(a).
  • 2. Известно, что число а является корнем многочлена ср(х) е Z[x] и Р е Q(a). Найдите минимальный многочлен алгебраического числа (3, если: а) ф(х) = х3-2х + 2и(3 = а2 + а+1;б) ф(х) = х3 - 2х + 2 и |3 = а2 + а + 1; в) ф(х) =х3-2х + 2ир = а2 + а+1.
  • 3. Числа аир являются корнями многочленов, соответственно /(х) е Z[x] Hg(x) е Z[x]. Найдите многочлен с целыми коэффициентами, имеющий корень a + р, если: а)/(х) =х2 - 2, g(x) =х2 - 3; б)/(х) =х3 - 2, g(x) = х2 - Зх + 1; в) fix) = х3 - Зх - 1, g(x) = х2 + х + 1.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>