Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Квадратичные расширения полей

От геометрии к алгебре

Для перевода на алгебраический язык задач на построение циркулем и линейкой введем необходимые понятия.

Определение 4.11. Пусть поле F является расширением поля Р, а е Р и поле F содержит корень многочлена х2 - а, который обозначим через Va. Если Va ? Р, то простое алгебраическое расширение P(Va) называется простым квадратичным расширением поля Р.

Определение 4.12. Поле F называется квадратичным расширением поля Р, если существует цепочка полей Р = F0 с Fx с с ... с Fn = F, где каждое следующее поле является простым квадратичным расширением предыдущего, т.е. для любого i = 0, 1, ..., п - 1 имеем a, е Fit -Ja- ? F( и Fi+1 = Д(^/а~).

Числовой прямой будем называть прямую с выбранной на ней точкой (начало координат), положительным направлением и единичным отрезком. Следующая лемма дает алгебраическое осмысление геометрической задачи на построение циркулем и линейкой.

Лемма 4.1. На числовой прямой можно построить циркулем и линейкой точку, соответствующую действительному числу а, тогда и только тогда, когда это число принадлежит некоторому квадратичному расширению поля рациональных чисел.

Доказательство. (=>) Пусть число а можно построить на числовой прямой циркулем и линейкой. Использование этих инструментов приводит к построению прямых и окружностей и нахождению их точек пересечения. Пользуясь аналитической геометрией, получаем уравнения первой и второй степеней и их системы. Решение систем таких уравнений приводит к числу а, которое выражается через единицу с помощью операций +, : и у . Но это и означает, что а принадлежит

некоторому квадратичному расширению F поля Q.

(<=) Пусть а принадлежит квадратичному расширению F поля рациональных чисел. Это означает, что существует цепочка полей Q = F0 a Fx с ... с Fn = F, где каждое следующее поле является простым квадратичным расширением предыдущего, т.е. для любого i - 0, 1, ..., п - 1 имеем а; е Fh ,Ja~ gFj- и Fi+1 = Fi(sja~'). Если дан единичный отрезок, то всякое рациональное число можно построить циркулем и линейкой. Пусть уже доказано, что всякий элемент поля Fi можно построить циркулем и линейкой. Поскольку Fi+1 = Fi(A/a^), то произвольный элемент а|+1 е Fi+1 имеет вид а;+] = a + bjоц при некоторых a, b е F,. По предположению, элементы а, b и а; поля F; можно построить циркулем и линейкой. Построение же элемента ai+1 сводится к построению суммы, разности, произведения уже построенных элементов и извлечению квадратного корня — все это возможно циркулем и линейкой. Следовательно, элемент а, принадлежащий F„ = F, можно построить циркулем и линейкой. Лемма доказана.

Аналогично можно доказать следующее более общее утверждение.

Лемма 4.1'. На числовой прямой можно построить циркулем и линейкой точку, соответствующую действительному числу а, имея отрезки длин р, q, ..., г, тогда и только тогда, когда а принадлежит некоторому квадратичному расширению поляР = <0>(р, q, ..., г).

Следующие лемма и теоремы ведут к решению классических геометрических задач древности: об удвоении куба и о трисекции угла, о которых речь пойдет ниже.

Лемма 4.2. Пусть дан многочлен f(x) - х3 + аух2 + djX + а0 с рациональными коэффициентами. Если один из корней данного многочлена принадлежит квадратичному расширению поля Q, то и все его корни принадлежат некоторому квадратичному расширению поля Q.

Доказательство. Пусть корень Xj данного многочлена Дх) принадлежит некоторому квадратичному расширению поля Q. Разделим Дх) на х - хх по схеме Горнера:

1

а2

«1

ао

*1

1

хг2

xf + а2х1 + а}

Ж) = 0

Таким образом, /(x) = (x-xj)(x2 + (*1 + а2)х + х^ 2х1а). Отсюда находим два других корня данного многочлена:

Поскольку X] и рациональные числа аь а2 принадлежат квадратичному расширению поля Q, то и корни х2, х3 принадлежат

некоторому квадратичному расширению поля Q. Лемма доказана.

Теорема 4.12. Корни многочлена Дх) = х3 + аух2 + а:х + а0 с рациональными коэффициентами принадлежат некоторому квадратичному расширению поля рациональных чисел тогда и только тогда, когда этот многочлен имеет рациональный корень.

Доказательство. (=>) Пусть корни данного многочлена Дх) принадлежат некоторому квадратичному расширению F поля Q. Докажем, что Дх) имеет рациональный корень. Предположим противное: пусть данный многочлен Дх) не имеет рациональных корней. По определению 4.12, существует цепочка полей Q = F0 с Fj с ... с F„ = F, где каждое следующее поле является простым квадратичным расширением предыдущего. Пусть X], х2, х3 — корни данного многочлена, которые, по условию, принадлежат полю F. Поскольку, по предположению, поле Q = F0 не содержит ни одного корня многочлена Дх), а поле F содержит все корни этого многочлена, то существует номер к, такой что поле Fk еще не содержит ни одного корня многочлена Дх), a Fk+1 уже содержит хотя бы один корень, пусть это будет xv Напомним, что Fk+i --ffcU к), где ак е Fk, но k. Поскольку ха е Fk+l, то х3 = а + Ъ^щ. при некоторых а, b е Fk. Так как Xj является корнем многочлена Дх), тоДх3) = 0.

Отсюда (а + bTocj/)3 -t-аДа + Ьл/а^)2 + а1(а + ЬЛ/а^) + а0 =0. Раскрывая скобки и группируя, получаем

Легко видеть, что при замене Ъ на слагаемое А не изменяется, а коэффициент В преобразуется в -В. Следовательно, f{a-b^Jo^) = А-В^а^ = 0. Таким образом, a-bja^ является корнем данного многочлена Дх). Пусть х2 = a-byla^. По формулам Виета, Xj + х2 + х3 = 2 е Qk. Но

Следовательно, х3 е Fk вопреки нашему предположению. Полученное противоречие заставляет нас принять, что данный многочлен Дх) имеет по крайней мере один рациональный корень.

(<=) Предположим теперь, что данный многочлен Дх) =х3 + + а^2 + a jX + а0 имеет рациональный корень xv Тогда по лемме 4.2 все корни многочлена Дх) принадлежат некоторому квадратичному расширению поля Q. Теорема доказана.

Теорема 4.13. Корень а многочлена Дх) = х3 + аух2 + а,х + а0 нельзя построить циркулем и линейкой на числовой прямой тогда и только тогда, когда многочлен Дх) не имеет рациональных корней.

Доказательство. (=>) Пусть корень а многочлена Дх) =х3 + + аух2 + djX + а0 нельзя построить циркулем и линейкой, исходя из единичного отрезка. Если предположить, что многочлен Дх) имеет рациональный корень, то по теореме 4.12 все его корни принадлежат некоторому квадратичному расширению поля рациональных чисел, а значит, по лемме 4.1 могут быть построены циркулем и линейкой на числовой прямой, что противоречит условию.

(<=) Пусть многочлен Дх) не имеет рациональных корней. Если предположить, что корень а многочлена Дх) можно построить циркулем и линейкой, исходя из единичного отрезка, то по лемме 4.1 а принадлежит квадратичному расширению поля Q. Но тогда по лемме 4.2 все корни данного многочлена принадлежат некоторому квадратичному расширению поля Q. По теореме 4.12 отсюда следует, что Дх) должен иметь рациональный корень, что противоречит условию. Теорема доказана.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>