Полная версия

Главная arrow Математика, химия, физика arrow АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ. ГРУППЫ, КОЛЬЦА И ПОЛЯ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Алгебры с делением конечного ранга над полем действительных чисел

Поле действительных чисел (М, +, •), поле комплексных чисел (С, +, •) и тело кватернионов (Н, +, •) являются векторными пространствами над полем действительных чисел. Общий взгляд на системы действительных, комплексных чисел и кватернионов порождает следующее определение.

Определение 4.17. Алгеброй с делением над полем Р (в частности, над полем действительных чисел R) называется тело (А, +, •}, которое одновременно является векторным пространством над полем Р, причем для любого скаляра а е Р и любых векторов а, (3 е А (аа) • Р = а (а • (3) = а • (а(3). Размерность векторного пространства А над полем Р (количество векторов базиса) называется рангом алгебры. Если ранг алгебры конечен, то она называется конечномерной.

Очевидно, поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов являются конечномерными алгебрами с делением над полем действительных чисел соответственно рангов 1, 2 и 4 (их базисы, соответственно, {1}, {1, г} и {1, i,j, к}. Есть ли другие примеры? Отвечает на этот вопрос следующая теорема.

Теорема 4.20 (Фробениуса). Система (А, +, •) является алгеброй с делением конечного ранга над полем действительных чисел тогда и только тогда, когда она является либо полем действительных чисел, либо полем комплексных чисел, либо телом кватернионов.

Доказательство. Ввиду сказанного выше остается доказать, что если система (А, +, ?) является алгеброй с делением конечного ранга над полем действительных чисел, то она является либо полем действительных чисел, либо полем комплексных чисел, либо телом кватернионов. Доказательство этого разобьем на ряд лемм.

Лемма 4.7. Алгебра с делением (А, +, •) над полем Р содержит подполе, изоморфное полю Р. С точностью до изоморфизма можно считать, что поле Р содержится в А.

Доказательство. Пусть е — единица алгебры (А, +, •). Очевидно, множество F = {ае а е Р} является подполем в А. Для любого ае Р определим /(ае) = а. Легко доказать, что/является изоморфизмом подполя F на поле Р. Отождествляя элемент ае е F с элементом а е Р, можно считать, что РсА. Лемма доказана.

Следствие. Если алгебра с делением (А, +, •) над полем R имеет ранг 1, то она является полем действительных чисел.

Доказательство. По лемме 4.7 R с А, а так как ранг алгебры Л равен 1, то линейно независимая над R система {1} является базисом в А. Это значит, что для любого а е А существует число qe К, такое что а = al = а е R. Следовательно, А = R.

Лемма 4.8. Всякий ненулевой элемент а алгебры с делением (А, +, •) конечного ранга над полем Р является корнем некоторого многочлена ср(х) е Р[х], неприводимого над этим полем.

Доказательство. Пусть ранг алгебры (А, +, •) равен п. Известно, что в п-мерном векторном пространстве всякие п + 1 векторов линейно зависимы. Следовательно, для любого О Ф Ф а е А система векторов {1 = а0, а, а2, ..., ап} линейно зависима. Это значит, что существуют элементы поля а0, аь а2, ..., ап, среди которых есть элементы, отличные от нуля, такие что а0 + ага + а2а2 + ... + апап = 0. Но это и означает, что а является корнем многочлена а0 + арс + аух2 + ... + atTxn е Р[х]. Из всех многочленов с коэффициентами из Р, имеющих корень а, выберем тот, который имеет наименьшую степень, пусть это будет ф(х). Тогда степень ф(х) не меньше 1. Предположим, что этот многочлен приводим над полем Р, пусть ф(х) = ф^х) • ф2(х), где Ф2(х), ф2(х) g Р[х], и степени сомножителей меньше степени многочлена ф(х). Тогда ф2(а) • ф2(а) = ф(а) = 0, а так как тело не имеет делителей нуля, то ф2(а) = 0 или ф2(а) = 0. Таким образом, а является корнем одного из многочленов фа(х) или ф2(х), что противоречит минимальности степени многочлена ф(х). Следовательно, многочлен ф(х) неприводим над полем Р. Лемма доказана.

Лемма 4.9. Алгебра с делением (А, +, •) над полем комплексных чисел С изоморфна этому полю и с точностью до изоморфизма можно считать, что А = С.

Доказательство. По лемме 4.7 алгебра с делением (Л, +, • ) над полем С содержит поле С. По лемме 4.8 всякий ненулевой элемент а е А является корнем некоторого многочлена ф(х) е е С[х], неприводимого над полем С. Известно, что неприводимыми над полем комплексных чисел являются лишь многочлены первой степени. Следовательно, ф(х) = ах + Ь при некоторых а, b е Сиа Ф 0. Таким образом, аа + b = ф(а) = 0, откуда а = -Ыа е С. Следовательно, А = С. Лемма доказана.

Лемма 4.10. Если алгебра с делением (А, +, •) над полем R имеет ранг п > 1, то она содержит подполе, изоморфное полю комплексных чисел С, и с точностью до изоморфизма можно считать, что С с А

Доказательство. По лемме 4.7 алгебра Л содержит поле R. Так как поле R является одномерным векторным пространством над полем R, т.е. над самим собой (с базисом {1}), а ранг Л над полем R равен п > 1, то А A R. Пусть а е AR. По лемме 4.8 а является корнем некоторого многочлена cp(x) е R[x], неприводимого над полем R. Известно, что неприводимыми над полем действительных чисел являются лишь многочлены первой степени и многочлены второй степени с отрицательными дискриминантами. Если предположить, что степень ср(х) равна единице и ф(х) =ах + Ь, где a, b е R и а Ф 0, то получаем аа + Ь = ф(а) = О, откуда а = b/a е R, что противоречит выбору элемента а. Следовательно, степень ф(х) равна двум и ф(х) = ах2 + Ьх + с при некоторых а, Ь, с е R и а Ф 0, причем дискриминант b2 - 4ас < 0. Но тогда 4ас - Ь2 > 0 и существует del, такое что d2 = 4 ас - Ь2. Поскольку аа2 + Ьа + с = ф(а) = 0, то

(2аа + Ъ)2 »—---'•

Обозначим i = ^аа + ; тогда i2 = -1. Вместе с тем С = R + Ш = d

= {а + bi a, b е R} является полем комплексных чисел, содержащимся в А. Лемма доказана.

Следствие. Если алгебра с делением (А, +, •} над полем R имеет ранг 2, то она является полем комплексных чисел.

Доказательство. По лемме 4.10 С с А. Система векторов {1, i} линейно независима над R, а так как ранг А над полем R по условию равен 2, то эта система является базисом в А. Следовательно, всякий элемент а е А является линейной комбинацией этих базисных векторов: а = а • 1 + Ъ ? i для некоторых а, b е R. Таким образом, А = С.

Лемма 4.11. Если алгебра с делением (А, +, •) над полем R имеет ранг п > 2, то она является телом кватернионов.

Доказательство. По лемме 4.10 С с А, где С = R + Ш. Рассмотрим множества U = {а е А | ai = ia} и V = {(3 е А | (3i = -i’P}. Легко видеть, что для любого у е А имеем у - iyi е U, а у + iyi е

е V и у = - iyi) + ^(у + iyi) eU + V. Следовательно, A = U + V.

Если предположить, что S е U nV, то 6 е U, откуда Ы = г§, и 8 е V, откуда 6г = -гб. Следовательно, i5 = -t8, откуда 2i5 = 0, а так как тело не содержит делителей нуля, то б = 0. Таким образом, U п V = {0}.

Выясним строение подмножеств U и V. Легко видеть, что UuV являются векторными пространствами над полем Е, причем U является алгеброй с делением над полем С и по лемме 4.9 U - С.

По условию, ранг Л равен п > 2, а так как ранг С над полем Е равен двум, то V — ненулевое векторное пространство над полем Е и существует О Ф (3 е V. По лемме 4.8 (3 является корнем некоторого многочлена ср(лг) е Е[х], неприводимого над полем Е. Поскольку неприводимыми над полем Е являются лишь многочлены первой степени и второй степени с отрицательными дискриминантами, то степень ср(лг) равна либо единице, либо двум. Рассмотрим оба случая.

В первом случае (р(х) =ах + Ь, где a, b е Е и а Ф 0. Поскольку

а(3 + b - ф((3) = 0, то (3 = — е Е с С = U. Следовательно, (3 е U п

а

n V = {0}, откуда |3 = 0, что противоречит предположению. Во втором случае ф(х) = ах2 + Ьх + с, где a, b, с е Е, а А 0 и дискриминант Ь2 - 4ас < 0. Поскольку Р — корень многочлена ф(х), то 0 = ф(Р) = аР2 + bp + с. Заметим, что р2 е U, и если предпо-

ttP2 + с

ложить, что b Ф 0, то Р = —--е U.

Ъ

С другой стороны, Р2 g V. Следовательно, Ре U nV = {0}, откуда Р = 0, что снова противоречит нашему предположению.

Q

Таким образом, Ъ = 0 и мы получаем аР2 + с = 0, откуда р2 = —.

а

с

Так как дискриминант Ь2 - 4ас < 0, то 4ас 2- 0, откуда — > 0.

а

с

Следовательно, существует d е Е, такое что — = d2. Таким обра-

а

п Q2 3

зом, Р2 = -d2, откуда ^- = -1. Обозначив j = —, получим j2 = -1. d2 d

Докажем, что V = С/. Так как; е V, то (if)i = i(ji) = = -i2j =j,

i(y) = i2j = -j, откуда (ij)i = -i(ij), значит, ij e V. Но тогда для любого комплексного числа а + Ы получаем (а + bi)j = aj + bij е V. Таким образом, Сj с V. Обратно, для любого Р е V получаем (Р/) i = РО'О = Р(-У) = — CPOj = -HP); = i(P;), откуда Р; е U = С и, следовательно, Р е Cj. Таким образом, А = С + С/.

Обозначим к = ij. Легко проверить, что к2 = ijk = -1. Всякий элемент h е А представим в виде h = Zx + при некоторых Zj, Z2 е С. Запишем эти комплексные числа в алгебраической форме: Z1 = a + bi,Z2 = c + di. Тогда h = (a + bi) + (с + di)j = a + b + + cj + dij = a + bi + cj + dk. В этой записи мы узнаем кватернион. Следовательно, система (А, +, •) является телом кватернионов.

Вместе с тем теорема Фробениуса доказана.

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

  • 1. Поле действительных чисел — это единственная алгебра с делением над полем R ранга 1.
  • 2. Поле комплексных чисел — это единственная коммутативная и ассоциативная алгебра с делением над полем М ранга п > 1.
  • 3. Тело кватернионов — это единственная ассоциативная некоммутативная алгебра с делением над полем R конечного ранга.

По поводу дальнейших расширений числовых множеств см. работу [6].

Заметим, что в соответствии с «Математической энциклопедией»[1] кольцом называется множество К с двумя бинарными операциями, которые называются сложением и умножением, причем К относительно сложения является абелевой группой, называемой аддитивной группой кольца, и умножение дистрибутивно относительно сложения: аф + с) = ab + ас и ф + с)а = = Ьа + са для любых а, Ь, с е К. В этом случае кольцо, определенное ранее, называется ассоциативным кольцом. Кольцом с делением называется кольцо К (необязательно ассоциативное), в котором для любых а,ЬеК, где а ^ 0, разрешимы уравнения ах = Ъ иуа = Ь. Если решения этих уравнений определены однозначно, то такое кольцо с делением называется квазителом.

  • [1] Математическая энциклопедия. М. : Советская энциклопедия, 1979.С. 959.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>