Контрольные вопросы

• 1. Существует ли алгебра с делением над полем R ранга 3; ранга 5?
• 2. Каковы ранги алгебр R, С, Н над полем R?
• 3. Каковы размерности векторных пространств Q, R, С, Н над полем Q?
• 4. Каковы размерности векторных пространств С, Н над полем С?
• 5. Является ли кольцом тело кватернионов?

Задачи

• 1. Составьте таблицу Кэли (таблицу умножения) для группы кватернионов G = {±1, ±i, ±j, ±k}.
• 2. Найдите порядок группы кватернионов и порядки всех ее элементов.
• 3. Найдите все подгруппы группы кватернионов и выберите из них нормальные подгруппы.
• 4. Докажите, что свойства мнимых единиц, сформулированные в определении 4.16, эквивалентны правилам умножения мнимых единиц, представленным на рис. 4.3.
• 5. Выведите формулу нахождения обратного кватерниона.
• 6. Рассмотрите произведение чистых кватернионов и найдите скалярную и векторную части произведения. Объясните геометрический смысл полученного результата.
• 7. Выпишите несколько базисов векторного пространства кватернионов над полем действительных чисел.