Нечеткие модели

Возрастание сложности математических моделей реальных систем и процессов, связанное со стремлением исследователей повысить их адекватность и учесть все факторы, влияющие на функционирование исследуемых систем, привело к появлению нового вида существенно машинных моделей — нечетких моделей. Есть задачи, которые не поддаются традиционному формальному описанию, в силу того что часть параметров представляет собой неточно или качественно заданные величины, для которых переход между состояниями «принадлежит классу» и «не принадлежит классу» непрерывен.

В условиях, когда описание подлежащей решению проблемы заведомо является неточным или неполным, традиционные методы построения моделей не приводят к удовлетворительным результатам. В таких случаях целесообразно воспользоваться подходами, которые специально ориентированы на построение моделей, учитывающих неполноту и неточность исходных данных. Именно в таких ситуациях наиболее конструктивной оказывается технология нечеткого моделирования, основанная на нечеткой логике. Подтверждение этому — впечатляющие решения многих практических задач, полученные за последние десятилетия на основе нечеткого моделирования.

Например, нечеткие контроллеры на четырех нефтеперерабатывающих заводах крупной японской нефтяной компании Idemitsu Kosan Со., Ltd. обеспечивают ежегодный экономический эффект более 200 млн японских иен.

Нечеткая логика предназначена для формализации способности человека к неточным или приближенным рассуждениям, позволяющим описывать ситуации с неопределенностью. Использование нечетких моделей дало возможность строить базы знаний и экспертные системы нового поколения, способные хранить и обрабатывать неточную информацию. Такие системы разработаны и успешно внедрены в таких областях, как финансовый менеджмент, финансовый анализ, биржевое прогнозирование, исследование рисковых и критических операций, управление транспортом, управление технологическими процессами, управление бытовой техникой, медицинская и техническая диагностика, распознавание образов, прогнозирование землетрясений и др.

В общем случае под нечеткой моделью понимается информационно-логическая модель системы, построенная на основе теории нечетких множеств и нечеткой логики. Подход к анализу систем на основе теории нечетких множеств является альтернативой общепринятым количественным методам. В основе нечеткой логики лежит теория нечетких множеств. Понятие нечеткого множества формализует нечеткую информацию для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие некоторым общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать к данному множеству с различной степенью. При таком подходе высказывания типа «элемент принадлежит данному множеству» нуждаются в дополнении, поскольку требуется указать, в какой степени рассматриваемый элемент удовлетворяет свойствам данного множества. Это дает возможность определять понятия, нечеткие по самой своей природе: «хороший», «популярный», «слабый», «выгодный» и т.д.

Нечеткое множество представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать — принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет.

Формальное определение нечеткого множества имеет следующий вид.

Определение 1.7. Нечетким множеством А называется совокупность упорядоченных нар (кортежей), составленных из элементов х базового (универсального) множества X и соответствующих значений рл(х):

где хЛ: X —^ [0; I][1] — функция принадлежности (характеристическая функция), указывающая в какой степени (мере) элемент х принадлежит нечеткому множеству А.

Если рЛ: X —> {0; 1} (т.е. функция принадлежности принимает только значения 0 или 1), то нечеткое множество может рассматриваться как обычное (четкое) множество. Пустое множество (не содержащее ни одного элемента) сохраняет свой классический смысл и обозначение в теории нечетких множеств. Нечеткое пустое множество 0 формально определяется как такое нечеткое множество, функция принадлежности которого тождественно равна нулю для всех элементов X.

Определение 1.8. Носителем нечеткого множества называют обычное множество, содержащее те и только те элементы базового пространства нечеткого множества, для которых значения функции принадлежности этого нечеткого множества отличны от нуля.

Нечеткие множества могут быть заданы одним из двух основных способов:

  • 1) явным перечислением элементов и соответствующих им значений функции принадлежности;
  • 2) указанием вида функции принадлежности — аналитически или графически.

Проиллюстрируем первый способ следующими примерами. Возьмем в качестве X множество целых чисел Z = {0, ±1, ±2,...}. Тогда нечеткое множество Л, представляющее «небольшое целое число», может быть представлено следующим образом: А = {(0, 1), (±1, 1), (±2, 1), (±3, 0,9), (±4, 0,8), (±5, 0,6), (±6, 0,5), (±7, 0,4), (±8, 0,2), (±9, 0,1)}. Элементы, для которых рл(х) = 0, в списке не указываются.

Другой пример связан с распознаванием изображений. Изображение на рис. 1.5 порождает на множестве десятичных цифр X = {0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} нечеткие множества С = {(0, рС(0)), (1, рС(1)),..., (9, рС(9))}, описывающие соответствие изображения той или иной десятичной цифре. Таким нечетким множеством может быть, например, А = {(0, 0,8), (3, 0,9), (5, 0,2), (6, 1), (8, 1), (9, 0,9)}.

Изображение, порождающее нечеткие множества

Рис. 1.5. Изображение, порождающее нечеткие множества

Пример второго способа задания нечеткого множества — треугольная функция принадлежности:

Функция принадлежности, заданная формулой (1.1), может являться описанием нечеткого числа, например на рис. 1.6 представлен график возможной функции принадлежности нечеткого числа «приблизительно 4000».

Асимметричная треугольная функция принадлежности нечеткого числа «приблизительно 4000»

Рис. 1.6. Асимметричная треугольная функция принадлежности нечеткого числа «приблизительно 4000»

Над нечеткими множествами определены все операции, характерные для традиционной теории точных множеств, но со спецификой, определяемой самой природой нечетких множеств. Основные операции и примеры их выполнения приведены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Основные операции над нечеткими множествами

Наименование

операции

Содержание операции

Равенство

Множества А и В равны тогда и только тогда, когда рл(д ) = Рд(л') Vx Е X

Включение

Нечеткое множество А содержится в Д, если iA (х) < (х) Ух е X

Дополнение

Множество В является дополнительным к А, если Цд(х) = 1 - рл(.г) Ух е X, при условии что 0 < рл(.г) < 1 (что не умаляет общности)

Пересечение

Пересечением нечетких множеств А и В является нечеткое множество Ап В с функцией принадлежности Илпв(х) = т|п(ЦлО), Йй(*)) Vx е X

Объединение

Объединением нечетких множеств А и В является нечеткое множество АиВ с функцией принадлежности P3uBW = max(P3W*PB(^)) VxeX

Помимо перечисленных основных операций над нечеткими множествами могут быть также реализованы другие операции: дизъюнктивная сумма, симметрическая разность и т.д.[2]

В отличие от классической теории множеств, где все операции определены однозначно и результаты их применения единственны, для нечетких множеств существуют различные альтернативные варианты представления таких операций, как дополнение, пересечение, объединение.

Центральное место в нечеткой логике занимает нечеткий вывод — процедура или алгоритм получения нечетких заключений на основе нечетких предпосылок и условий с использованием понятий нечеткой логики. Этот процесс соединяет в себе все основные концепции теории нечетких множеств. Системы нечеткого вывода предназначены для реализации процесса нечеткого вывода и служат концептуальным базисом современного нечеткого моделирования.

  • [1] В качестве множества принадлежностей может рассматриваться не только промежуток[0; 1], но и любое линейно упорядоченное множество.
  • [2] Более детально с нечеткими множествами можно ознакомиться в книге: Рутковская Д,Пилинъский М., РутковскийЛ. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы :пер с польск. И. Д. Рудинского. М.: Горячая линия-Телеком, 2004.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >