Основные модельные распределения

Функция распределения F(x; xw х^) усеченного распределения связана с функцией распределения Fq(x) исходного распределения соотношением

Моделирование таких распределений выполняется одним из двух способов. Первый состоит в «прямом отборе», при котором моделируются выборочные значения t исходной (неусеченной) случайной величины с проверкой для каждого t выполнения условия ха < х{ < и отбрасыванием тех значений, для которых это условие не выполнено (рис. 2.12). Процедура повторяется до тех пор, пока объем выборки не достигнет заданного значения N.

Блок-схема алгоритма моделирования усеченного распределения

Рис. 2.12. Блок-схема алгоритма моделирования усеченного распределения

Такой способ неэкономичен из-за неизбежных «лишних» обращений к датчику псевдослучайных чисел. Предпочтительным является другой

способ — использование моделирующих приемов, основанных на связи усеченного распределения с исходным.

Поясним сказанное на примере усеченного на конечный промежуток [ха; д-р] нормального распределения с параметрами (т, о2).

В соответствии с формулой (2.11) функция плотности рассматриваемого распределения имеет вид

В качестве иллюстрации на рис. 2.13 показаны графики функции плотности усеченного нормального распределения с параметрами (0, 1, -2,3263, 1,2816) и (0, 1, -3,0902, 3,0902).

Графики функции плотности (2.13) при т = 0, а = 1, х = -2,3263 (а = 0,01), х„ = 1,2816 (Р = 0,9) и х = -3,0902 (а = 0,001), х„ = 3,0902

Рис. 2.13. Графики функции плотности (2.13) при т = 0, а = 1, ха = -2,3263 (а = 0,01), х„ = 1,2816 (Р = 0,9) и ха = -3,0902 (а = 0,001), х„ = 3,0902

(Р = 0,999)

Приведем пример реализации алгоритма прямого отбора для моделирования усеченного нормального распределения средствами системы MATLAB. В процессе формирования выборки будем подсчитывать «лишние» обращения к датчику randn.

% Моделирование усеченного нормального распределения,

% алгоритм прямого отбора ш = 0; s = 1; а = 0.01; Ь = 0.9;

ха = norminv(a); xb = norminv(b);

N = 1000;

REZ = [ ]; к = 0; q = 0 ; while к < N,

x = m + randn * s;

if x > xa & x < xb, REZ = [REZ,x]; k= к + 1; else q= q + 1; end end

hist(REZ, 25)

Результат моделирования показан на рис. 2.14. Число «лишних» обращений к датчику randn оказалось равным 124. Заметим, что это число в повторном расчете может оказаться другим, поскольку оно зависит от начального значения последовательности псевдослучайных чисел в конкретном вычислительном эксперименте.

Результат моделирования усеченного нормального распределения с параметрами (0, 1, -2,3263, 1,2816) (алгоритм прямого отбора) в виде гистограммы абсолютных частот

Рис. 2.14. Результат моделирования усеченного нормального распределения с параметрами (0, 1, -2,3263, 1,2816) (алгоритм прямого отбора) в виде гистограммы абсолютных частот

Более экономичным в данном случае является другой алгоритм моделирования — основанный на моделирующем приеме

где р — значения случайной величины, равномерно распределенной на промежутке [0; 1), uz квантиль порядка 2 стандартного нормального распределения. Алгоритм интуитивно понятен. Действительно, случайная величина z = а + ((3 - а равномерно распределена на промежутке (а, (3), поэтому uz — выборка значений усеченного на промежуток а, хр) стандартного нормального распределения.

% Моделирование усеченного нормального распределения,

% моделирующий прием а = 0.01; Ь = 0.9;

Р = rand(1,1000);

Z = (b - a) * P + a;

X = norminv(Z); hist (X, 25) grid

Для усеченного нормального распределения с параметрами (т, а2, ха, Хр) указанный моделирующий прием имеет вид

Суперпозиция распределений

В некоторых практических задачах «хорошей» вероятностной моделью является смесь случайных величин. На рис. 2.15 изображен график функции плотности смеси двух нормальных распределений /(х) = 0,6 j (х) + 0,4/2(х), где

Графики функций плотности смеси распределений и компонент смеси двух нормальных распределений с параметрами (24, 1,2) и (27, 1,2)

Рис. 2.15. Графики функций плотности смеси распределений и компонент смеси двух нормальных распределений с параметрами (24, 1,2) и (27, 1,2)

В общем случае идея алгоритма моделирования случайных величин такого типа следующая. Допустим, что функция распределения F(x) интересующей нас случайной величины с, представима в виде

где для любого k Fk(x) — также функция распределения, a ск(х) > 0 .

Поскольку С] + с2 + ... + ск = 1 (это следует из (2.18) при х —> °°), то можно ввести дискретную случайную величину rj, закон распределения которой задается таблицей

так что P{r = k} = ck. Алгоритм получения значений случайной величины основан на следующей теореме.

Теорема 2.2. Пусть а, и а2независимые значения случайной величины, имеющей стандартное равномерное распределение. Если по числу а{ разыграть значение Г| = к случайной величины Г|, а затем из уравнения Fk(?) = а2 определить то функция распределения ? равна F(x).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >