Вычисление площади плоской фигуры

Пример, наиболее наглядно иллюстрирующий применение метода статистического моделирования, состоит в следующем. Требуется вычислить площадь SF некоторой плоской фигуры F. Зададим числа а и b такие, что F целиком расположена внутри прямоугольника со сторонами а и b (рис. 2.18).

К вычислению площади плоской фигуры

Рис. 2.18. К вычислению площади плоской фигуры

С помощью датчика псевдослучайных чисел сформируем N пар координат случайных точек, равномерно заполняющих прямоугольник. Пусть N* — количество точек, попавших внутрь фигуры F. Тогда при достаточно

больших значениях N искомая площадь может быть приближенно вычислена следующим образом:

Задача об игле Бюффона (вычисление числа п)

В 1777 г. французский естествоиспытатель Жорж Луи Леклерк де Бюф- фон[1] сформулировал задачу о нахождении вероятности того, что брошенная на разграфленный лист бумаги игла пересечет одну из линий. Решение задачи легко может быть найдено с использованием статистического моделирования.

Проведем на плоскости параллельные прямые х = 0и x = d, образующие бесконечную полосу ширины d. Бросим произвольным образом на плоскость иглу длины / < d. Положение иглы на плоскости определяется значениями двух независимых случайных величин: координатой одного из концов h и углом поворота относительно горизонтальной оси (р (рис. 2.19).

Положение иглы относительно прямой в задаче об игле Бюффона

Рис. 2.19. Положение иглы относительно прямой в задаче об игле Бюффона

Очевидно, что -п/2 < (р < л/2, 0 < h < d, т.е. множество возможных положений иглы представляет собой область F= {(h, ср): -п/2 < (р < л/2, О < h < d}, а событию «игла пересекает прямую х = d>> отвечает область А = {(/г, ф): h + /соБф > d).

Изобразим области Ри А в плоскости (Л, ф) (рис. 2.20).

Вероятность того, что игла пересечет прямую, равна отношению площади S+ фигуры, отвечающей области А, к площади прямоугольника 5, отвечающего области F. Таким образом, для решения задачи может быть применен алгоритм вычисления площади плоской фигуры, рассмотренный в предыдущем примере.

Области, соответствующие возможным положениям иглы

Рис. 2.20. Области, соответствующие возможным положениям иглы

в задаче Бюффона

Поясним, как эта задача связана с вычислением я.

л

2 5+ 2/

Найдем 5*+ = S - S~ = nd - f (d-l cos ср)с/ф = nd- nd + 2/, откуда — = —

я S nd

~2

S 21

Таким образом,---г = 7Г» т-е-» оценивая методом статистических испы-

S+ d

таний отношение площадей S и S+, мы можем одновременно оценить значение числа я. Точность оценки повышается (в вероятностном смысле) с увеличением числа испытаний (рис. 2.21).

Зависимость приближенного значения числа к от числа испытаний

Рис. 2.21. Зависимость приближенного значения числа к от числа испытаний

  • [1] Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон (Georges Louis Leclerc Comte de Buffon, 1707—1788) — французский натуралист, биолог, математик, естествоиспытатель и писатель.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >