Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа

Еще один наглядный пример применения метода статистических испытаний — решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с использованием алгоритма «блужданий но сетке». Строгое обоснование этих алгоритмов можно найти в классических работах по методу Монте-Карло.

Напомним, что уравнением Лапласа называется уравнение в частных производных

задачей Дирихле для уравнения Лапласа — задача нахождения функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа в ограниченной связной области D и граничным условиям

на границе области 1(D).

Сформулируем задачу следующим образом: требуется применить статистическое моделирование для вычисления значения в точке Л(0,8; 0,6) функции U> удовлетворяющей в квадрате D = {Q 0 < г/ < 1} уравнению Лапласа и на границе квадрата — граничным условиям

Для вычисления U(A) введем в области {0<х<1, 0< г/<1} квадратную сетку с шагом h = 0,2. В практических задачах шаг сетки выбирают достаточно малым, поскольку от него зависит погрешность, возникающая при замене границы области сеточным контуром. В нашем учебном примере возьмем шаг крупным для удобства вычислений. Узлы сетки пронумеруем таким образом, чтобы пара номеров (i,j) соответствовала точке (xjf i/j), Xj = ih, i = 0,1,..., 5, Uj = jh, j = 0,1,..., 5 (рис. 2.22).

Сеточная область, аппроксимирующая квадрат {0

Рис. 2.22. Сеточная область, аппроксимирующая квадрат {0<лг< 1, 0 <у< 1}

Значение функции в узле (г, у) обозначим ;. С помощью разностных аппроксимаций производных во внутренних узлах

приведем уравнение Лапласа к виду

Алгоритм «блужданий но сетке» построим следующим образом.

  • 1. Начало траектории «блуждания» поместим в точку А(0,8; 0,6), т.е. в узел (4, 3).
  • 2. Очередной шаг из узла (i,j) делается в узел:
    • (г, у + 1) с вероятностью р{ = 0,25;
    • (г, у - 1) с вероятностью р2 = 0,25;
    • (г + 1,7) с вероятностью р3 = 0,25;
    • (г - 1,7) с вероятностью рА = 0,25.
  • 3. Если новый узел (г,у) внутренний, то повторяем шаг 2, т.е. делаем очередной шаг траектории, если узел (г,у) граничный, то траектория «блуждания» обрывается, граничное значение ?/,• •, соответствующее той граничной точке, в которой оборвалась траектория, считается выборочным значением случайной величины

Доказано, что с вероятностью 1 траектория за конечное число шагов достигнет границы области. Таким образом, построив требуемое число траекторий «блуждания по сетке», можно вычислить приближенное значение решения

и оценить его погрешность но формуле (2.20).

Выполним расчет, используя случайные числа, полученные с помощью датчика псевдослучайных чисел rand системы MATLAB.

Очередной шаг «блуждания» будем делать в узел:

  • (г,у + 1), если случайное число принадлежит промежутку [0; 0,25);
  • (г,у - 1), если случайное число принадлежит промежутку [0,25; 0,5);
  • (г + 1,7), если случайное число принадлежит промежутку [0,5; 0,75);
  • (г - 1,7), если случайное число принадлежит промежутку [0,75; 1). Первые две траектории «блуждания», полученные по такому алгоритму, изображены на рис. 2.23. Покажем, как построены эти траектории (в скобках над стрелкой указывается случайное число, в соответствии с которым осуществляется переход в следующий узел):
    • 1) (4,3) —(°-j226> >(5> 3) — конец первой траектории;
    • 2) (4,3) <°-88°0 >(3,3) ((Ш30) >(3,4) (0'9797) >(2,4) (0'2714) >
  • (0'27|4) >(2,3) <02523) >(2,2) <°-8757) >(1,2) (0-7373) >
  • (0,7373) 2) («1365) g) (0.0118) 4) (0.8939) )
  • (()8939) >(1,4)—(0,1991) >(1,5) — конец второй траектории.
Две траектории алгоритма «блужданий по сетке»

Рис. 2.23. Две траектории алгоритма «блужданий по сетке»

Полученные по такому алгоритму 10 значений случайной величины ? оказались равными 0,3980, 0,0000, 6,5940, 0,7726, 0,5881, 0,3941, 0,5823, 0,0000, 0,5794, 0,9561.

По формулам (2.19), (2.21), (2.22) получим

Обратите внимание!

При оценке погрешности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с использованием статистического моделирования следует иметь в виду, что она складывается из погрешности разностного метода, определяемой шагом сетки, и статистической оценки погрешности, возникающей при реализации статистических испытаний.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >