Одноканальная однофазовая модель системы массового обслуживаниия

Параметры модели: т — количество заявок;

функция распределения плотности вероятностей интервала времени между двумя последовательными заявками;

/т — функция распределения плотности вероятностей времени обслуживания.

Переменные состояния модели:

а — интервал времени между появлениями текущей поступившей в систему заявки и следующей заявки;

w — время ожидания текущей поступившей в систему заявки в очереди; s — время простоя системы в ожидании текущей заявки;

т — время обслуживания последней поступившей заявки;

Tw — общее время ожидания всех заявок в очереди;

Ts — общее время простоя системы в ожидании заявок;

- 7

W = —— среднее время ожидания заявки в очереди; т

- Т.

S = —— среднее время простоя системы в ожидании очередной заявки; тп

w + т — время окончания обслуживания поступившей заявки. Возможно три варианта:

w + т > а — следующая заявка будет ожидать в очереди, система не будет простаивать;

w + х < а — простой системы в ожидании заявок, очередь заявок пуста; w + х = а — нет простоя системы, очередь заявок пуста.

На рис. 5.7 представлены соотношения между величинами w, х, а.

Соотношения между переменными модели w т, а

Рис. 5.7. Соотношения между переменными модели w9 т, а

В момент поступления очередной текущей заявки известен момент освобождения станции, когда будут обработаны все предыдущие заявки, т.е. и время wy через которое станция освободится относительно момента прихода текущей заявки. Добавляя к нему время обработки текущей заявки, можно определить время освобождения станции (относительно момента прихода текущей заявки) для начала обслуживания следующей заявки. Для расчета этого времени относительно момента прихода следующей заявки достаточно вычесть из него время прихода следующей заявки относительно момента времени прихода текущей заявки. Таким образом, все моменты времени, связанные с нахождением текущей заявки в системе, исчисляются относительно момента времени ее прихода в систему.

В случае w > 0 время нахождения текущей заявки в системе состоит из двух частей: времени ожидания в очереди и времени обслуживания. В противном случае заявка начинает обслуживаться немедленно и затраты, связанные с ожиданием в очереди, отсутствуют. Однако в случае w < О появляются затраты, связанные с простоем системы. Естественно, наилучший вариант w = 0, когда дополнительные затраты, связанные с ожиданием в очереди и простоем системы, отсутствуют.

На рис. 5.8 представлена блок-схема расчета переменных состояния имитационной модели одноканальной однофазной модели. Модель позволяет определить только два критериальных значения, при помощи которых можно оценить качество СМО: среднее время ожидания заявки в очереди и среднее время простоя системы в ожидании заявок на обслуживание. Эта модель может быть легко модифицирована для получения других показателей эффективности функционирования СМО. Эти значения являются случайными величинами, поэтому для определения их параметров необходимо провести значительное количество серий экспериментов с имитационной моделью.

Блок-схема процедуры обслуживания заявки одноканальной однофазной СМО

Рис. 5.8. Блок-схема процедуры обслуживания заявки одноканальной однофазной СМО

Входом имитационной модели являются генераторы случайных чисел, при помощи которых задаются время прихода заявок в систему и время их обслуживания. Для стационарных ординарных однородных входящих потоков без последействия определены аналитические решения, которые могут быть использованы для корректности построения имитационной модели. В частности, для нашей модели математическое ожидание критериальных переменных состояния должно совпадать со значениями аналитического решения. Если время прихода заявки в систему аппроксимируется случайной величиной с экспоненциальным законом со средним 1/Х, а время обработки — случайной величиной с экспоненциальным законом

со средним 1/р, где А, < |Л, то W = ———, S = ^ К

р(|х - Л) р - Л

Одноканальная многофазная модель может быть представлена как расширение одноканальной однофазной модели, представляя последнюю как отдельный блок, входом которого является выход с предыдущего блока, а выходом — вход следующего блока. Время обработки заявки на каждой станции задается при помощи случайной величины с известным распределением, обычно с разными параметрами для разных станций. Применительно к показателю времени нахождения заявки в системе его величина складывается из соответствующих значений для каждого блока. Для показателя времени простоя системы в ожидании заявки на обслуживание необходимо определиться с понятием простоя системы. Когда станции всех фаз системы простаивают, очевидно считать это время простоем системы. Но в случае неполной занятости системы, когда заняты станции отдельных фаз, но есть и простаивающие станции, необходимо сделать определенные изменения в понятии и технологии расчета показателя простоя системы.

Пример 5.1

Предположим, что среднее время между двумя последовательными заявками, поступающими в систему на обслуживание, составляет 0,25. Среднее время обслуживания поступившей в систему заявки — 0,1. Распределение этих случайных величин соответствует экспоненциальному закону.

В табл. 5.1 приведены результаты функционирования имитационной одноканальной однофазной модели по обслуживанию первых 20 заявок. В отдельной строке таблицы указаны числовые данные для текущей заявки: время прихода, время обслуживания, время ожидания заявки в очереди, время простоя системы в ожидании этой заявки. Кроме этого, в этой строке указано время для всех предшествующих заявок, включая текущую: общее время нахождения пришедших в систему заявок и общее время простоя системы в ожидании заявок. Последние два столбца содержат соответствующие средние значения по всем обслуженным заявкам.

Аналитическое решение для среднего времени ожидания заявки в очереди составляет примерно 0,15, а аналитическое решение для среднего времени простоя системы в ожидании заявки — 0,0(6). Как очевидно из табл. 5.1, для первых 20 заявок средние

1 Эти и некоторые другие результаты приведены во многих источниках, например: Sasieni М., Friedman L., Yaspan Л. Operations research — methods and problems. N. Y. : Wiley, 1959; Нейлор T. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. М.: Мир, 1975.

значения для времени ожидания в очереди (0,041) и времени простоя системы в ожидании очередной заявки (0,104) не совпадают со значениями аналитического решения.

Таблица 5.1

Результаты функционирования имитационной одноканальной однофазной модели

Заявка

Всего по заявкам

В среднем на заявку

Время

прихода

Время

обслуживания

Время в очереди

Простой

системы

Очередь

Простой

системы

Ожидание в очереди

Простой

системы

1

0,232

0,060

0,000

0,232

0,000

0,232

0,000

0,232

2

0,031

0,004

0,029

0,000

0,029

0,232

0,015

0,116

3

0,169

0,083

0,000

0,136

0,029

0,368

0,010

0,123

4

0,085

0,106

0,000

0,002

0,029

0,370

0,007

0,093

5

0,133

0,117

0,000

0,027

0,029

0,397

0,006

0,079

6

0,129

0,058

0,000

0,012

0,029

0,409

0,005

0,068

7

0,671

0,061

0,000

0,613

0,029

1,022

0,004

0,146

8

0,098

0,020

0,000

0,037

0,029

1,059

0,004

0,132

9

0,091

0,261

0,000

0,071

0,029

1,130

0,003

0,126

10

0,114

0,111

0,147

0,000

0,176

1,130

0,018

0,113

11

0,353

0,005

0,000

0,095

0,176

1,225

0,016

0,111

12

0,018

0,164

0,000

0,013

0,176

1,238

0,015

0,103

13

0,054

0,085

0,110

0,000

0,286

1,238

0,022

0,095

14

0,054

0,168

0,141

0,000

0,427

1,238

0,031

0,088

15

0,522

0,309

0,000

0,213

0,427

1,451

0,028

0,097

16

0,012

0,009

0,297

0,000

0,724

1,451

0,045

0,091

17

0,219

0,093

0,087

0,000

0,811

1,451

0,048

0,085

18

0,329

0,050

0,000

0,149

0,811

1,600

0,045

0,089

19

0,344

0,026

0,000

0,294

0,811

1,894

0,043

0,100

20

0,208

0,152

0,000

0,182

0,811

2,076

0,041

0,104

Для большего количества обслуженных заявок указанные средние значения имеют большее соответствие аналитическим значениям. На рис. 5.9 приведена графическая форма изменения времени ожидания заявки в очереди (среднее значение) и времени простоя системы в ожидании очередной заявки (среднее значение) с увеличением количества обслуженных заявок в одноканальной однофазной СМО. Это результаты одной из серий испытаний имитационной модели. В разных сериях испытаний начальная форма зависимости может различаться, но общая тенденция одна — стремление значений указанных показателей к значениям аналитического решения.

Время ожидания заявки в очереди (среднее значение) и время простоя системы в ожидании очередной заявки (среднее значение) в зависимости от количества обслуженных заявок в одноканалыюй однофазной СМО

Рис. 5.9. Время ожидания заявки в очереди (среднее значение) и время простоя системы в ожидании очередной заявки (среднее значение) в зависимости от количества обслуженных заявок в одноканалыюй однофазной СМО:

-----ожидание в очереди;--простой системы

Полученные результаты могут указывать па пригодность построенной модели для решения задач по определению и других характеристик моделируемой системы при изменении состава переменных состояния модели. В общем случае, когда аналитическое решение недоступно по тем или иным причинам (например, для моделирования времени прихода и времени обслуживания заявки используются другие вероятностные распределения), данный инструмент позволяет определить необходимые характеристики системы массового обслуживания.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >