6.9. Различные виды систем массового обслуживания

6.9.1. Марковские системы обслуживания

К марковским СМО относятся системы, поведение которых в момент времени t может быть описано марковским процессом %(?). В частном случае сюда относятся все системы вида MM Nf где 1 < п < со, 0 < iV< go. Будем всюду далее использовать следующие обозначения:

  • • ?(t) — число заявок в СМО в момент времени t
  • X — интенсивность входящего пуассоновского потока;
  • • р — параметр показательного распределения времени обслуживания заявки (среднее число заявок, обслуживающихся в единицу времени при непрерывной работе прибора);
  • • р = Vn-

Вероятностное распределение ?(t) после момента t определяется:

  • • числом заявок в СМО в момент t;
  • • моментами поступления заявок после момента t;
  • • моментами окончания обслуживания заявок после момента t.

В силу того что входной поток простейший, момент поступления заявок после момента t не зависит от предыстории системы до момента t. Аналогично, поскольку времена обслуживания показательно распределены, из-за отсутствия последействия у показательного распределения моменты окончания обслуживания заявок после момента t не зависят от предыстории СМО до момента t. Поэтому вероятностное поведение ?(?) после момента t зависит только от %(?) и не зависит от поведения ?(?) до момента t. Значит, %(t) — марковский процесс с конечным или счетным числом состояний. Поэтому для нахождения зависящих от времени вероятностных состояний Pj(t) = Р{?>(?) = j} следует решать систему уравнений Колмогорова для безусловных вероятностей. Если мы ищем стационарные вероятности, то следует решать систему уравнений равновесия.

В большинстве рассматриваемых ниже моделей t^t) является процессом размножения и гибели с соответствующими инфинитезимальными характеристиками.

Классическая система обслуживания MMi с ожиданием

Рассмотрим одноканальную СМО, на которую поступает независимый пуассоновский поток заявок интенсивности X. Время обслуживания отдельной заявки — экспоненциально распределенная СВ с параметром р, независимая от совокупности моментов событий входящего потока и времен обслуживания других заявок. Обслуживание заявок осуществляется в порядке их поступления. Число мест в очереди не ограничено.

Пусть ?,(t) — число заявок в СМО в момент времени t. Очевидно, процесс

%(t) является процессом размножения и гибели с Хп = X и р„ = р. Если i

то выполнены условия эргодичности для ПРГ с у = р, следовательно, существует единственное стационарное распределение, совпадающее с эргодическим:

Величина р называется коэффициентом загрузки (нагрузки).

Если р < 1, т.е. X < р, то интенсивность поступления меньше интенсивности обслуживания. Естественно ожидать, что прибор будет справляться с поступающими заявками и рано или поздно СМО войдет в стационарный режим работы. Если же р > 1, т.е. X > р, то прибор перестанет справляться с заявками и очередь будет неограниченно расти. Итак, пусть р < 1. Поскольку для данного ПРГ Хп = X и хп = р, то из формулы (6.14) получим

Так как п} — распределение вероятностей, то откуда р0 - 1 - р.

Итак, число заявок в стационарной СМО М|Л/|1 имеет геометрическое распределение:

Поскольку р = 1 - р0, то р можно интерпретировать как вероятность того, что в стационарной системе (т.е. в системе, в которой начальное распределение заявок совпадает со стационарным) прибор занят.

Так как число заявок в стационарной СМО ММ имеет геометрическое распределение, то среднее число заявок и дисперсия в СМО в стационарном режиме равны

Пример 6.1. Специализированный пост диагностики автомобилей представляет собой одноканальную СМО. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, — простейший с интенсивностью X = 0,9. Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно 45 мин. Пост диагностики располагает неограниченным количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей (т.е. длина очереди не ограничена). Требуется определить следующие вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме:

  • • вероятность того, что пост диагностики свободен;
  • • среднее число автомобилей на посту диагностики;
  • • вероятность того, что на посту будет находиться не более трех автомобилей;
  • • среднее число автомобилей в очереди;
  • • среднюю продолжительность пребывания автомобиля на посту диагностики.

Решение. Так как время диагностики в среднем равно 45 мин, т.е. 0,75 ч, то параметр обслуживания р = 1/0,75 = 1,33. Следовательно, коэффициент загрузки

Вероятность того, что пост диагностики свободен: р0 = 1- р=1- 0,68 = 0,32.

Среднее число автомобилей на посту диагностики:

Вероятность того, что на посту будет находиться не более трех автомобилей:

Среднее число автомобилей в очереди: Lq-L - р = 2,13 - 0,68 = 1,45.

Средняя продолжительность пребывания автомобиля на посту диагностики находится по формуле Литтла [6]:

откуда

Предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, конечно, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди. Клиентов же интересует прежде всего (при равных условиях качества диагностики) время пребывания на посту диагностики. Поэтому встает вопрос об экономической целесообразности расширения площади для стоянки автомобилей или увеличения числа линий диагностики.

Система обслуживания с потерями М|М|и|0 (задача Эрланга)

Имеется п обслуживающих приборов, каждый из которых доступен, когда он свободен, для каждой из поступающих в систему заявок и одновременно может обслуживать только одну заявку. Время обслуживания случайно, и его длительность имеет показательное распределение с параметром х. Поток заявок — простейший с параметром X. Каждая заявка, поступившая в систему, начинает обслуживаться немедленно, если в ней имеется хотя бы один свободный прибор. Если же все приборы заняты, то заявка теряется, получает отказ. Как и прежде, опишем этот случай путем выбора подходящих коэффициентов размножения и гибели:

Так как в данном случае каждое состояние достижимо из любого другого, то эргодичность, а следовательно, и существование единственного стационарного распределения гарантируется. Из формулы (6.14) получим

В силу того что имеем

В частности, вероятность того, что заявке будет отказано в обслуживании, равна

Равенство (6.18) называют формулой потерь Эрланга.

Пример 6.2. Туристическая фирма обслуживает клиентов по телефону, имеющему разветвление на четыре линии. Проведенные маркетинговые исследования показали, что в среднем за 1 ч работы поступает 75 звонков. Среднее время переговоров менеджера фирмы с клиентом по телефону составляет 3 мин. Дадим оценку работы туристической фирмы при условии, что ее функционирование описывается моделью массового обслуживания М|М|и|0.

Решение. Определяем интенсивность обслуживания р и р: р = 1/0,05 = = 20 (звонков/ч), р = Х/х = 75/20 = 3,75. Тогда вероятность простоя менеджеров фирмы равна

Вероятность того, что клиенту будет отказано в обслуживании, вычисляется по формуле потерь Эрланга (6.18):

Таким образом, доля необслуженных клиентов составляет 25%, г.е. каждый четвертый клиент получил отказ в возможности провести переговоры с менеджером турфирмы. Следовательно, система работает с большими потерями. Возможно, необходимо увеличить количество линий разветвления телефона и ввести еще нескольких менеджеров или уменьшить время переговоров по телефону. Тем самым увеличится доход турфирмы от продажи путевок.

Система обслуживания MM Nс ограниченным числом мест

для ожидания

В отличие от предыдущей системы обслуживания, в данной системе имеется N мест для ожидания. Если заявка застает хотя бы один свободный прибор или хотя бы одно свободное место для ожидания, то она остается в системе, в противном случае происходит потеря заявки. Остальные условия сохраняются такими же, как и в предыдущем случае.

Мы снова находимся в условиях ПРГ со следующими коэффициентами размножения и гибели:

Из формулы (6.14) получаем

Замечание 6.2. Естественно, что из формул (6.19), (6.20) при N = 0 получим результат для ММп, а при N —» оо — результат для СМО ММпсо с бесконечным числом мест для ожидания.

Пример 6.3. На автомойку, имеющую два места для мойки, в среднем за 1 ч приезжают шесть автомобилей. Среднее время мойки составляет 25 мин. Если в очереди уже находятся два автомобиля, то вновь подъезжающие автомобили не желают терять время и покидают мойку. Проведем анализ работы автомойки с 8.00 до 20.00, если средняя стоимость мойки одного автомобиля составляет 200 руб., а функционирование автомойки описывается моделью массового обслуживания MM N.

Решение. Имеем X = 6, п = 2, N = 2. Поскольку среднее время мойки составляет 25 мин, то р = 1/(25/60) = 2,4. Тогда р = Х/ц = 6/2,4 = 2,5.

Определяем вероятность простоя мойки:

Найдем теперь вероятность отказа. Очевидно, что клиент отказывается от обслуживания, когда оба места для мойки заняты и в очереди находятся два автомобиля, т.е. в системе находится четыре автомобиля:

Таким образом, 32% из числа поступивших автомобилей получают отказ в мойке автомобиля. Если учитывать время работы с 8.00 до 20.00, всего 12 ч, то за это время количество потерянных заявок составит 6 12- 0,32 = 23,04, а потеря выручки — 23 • 200 = 4600 (руб.).

Система обслуживания ММ|эо с бесконечным числом приборов

обслуживания

Хотя СМО с бесконечным числом приборов не существует, тем не менее если приборов очень много, то результаты для ММсо будут давать хорошие приближения.

Так как для достаточно больших к существуют некоторое состояние N и число у, 0 < у < 1, такое что для всех k> N, то в силу выполнения

условия эргодичности для ПРГ существует единственное стационарное распределение, которое находится из формулы (6.14) при п —» оо:

Следовательно,

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >