Погрешность произведения и частного

Теорема 2. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

Доказательство. Пусть и=ХХ₂ ... х„. Предполагая для простоты, что приближенные числа положительны, будем иметь:

Отсюда, используя приближенную формулу , находим:

Оценивая последнее выражение но абсолютной величине, получим:

Если А/ (/= 1, 2, ..., п) - точные значения сомножителей х, и | Дх,- |, как это бывает обычно, малы по сравнению с х„ то приближенно можно положить

и

где 5, - относительные погрешности сомножителей х, (/= 1,2, ..., п) и 5 - относительная погрешность произведения. Следовательно,

Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т. е.

Если ,то и

Следовательно

Отсюда вытекает, что теорема 2 верна и для частного.

Общая формула для погрешности

Основная задача теории погрешности в следующем: известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин [2-5].

Пусть задана дифференцируемая функция:

и - абсолютные погрешности аргументов функции.

Тогда абсолютная погрешность функции:

Обычно на практике | Дх,-1 - малые величины, квадратами, произведениями и высшими степенями которых можно пренебречь. Поэтому можно принять:

Обозначая через Ах, (г=1, 2, ..., п) абсолютные погрешности аргументов х, и через Дц - предельную погрешность функции и, для малых Axi получим:

При мер 1.4. Найти абсолютную и относительную погрешности объема шара V=na/6, если диаметр d=3,l см ± 0,05 см, а л « 3,14.

Решение. Рассматривая л и d как переменные величины, вычисляем частные производные:

По формуле (1.11) предельная абсолютная погрешность объема Поэтому

Отсюда относительная погрешность объема

Вопросы и задания для самоконтроля

• 1. Определение приближенного числа.
• 2. Понятие абсолютной и относительной погрешностей.
• 3. Какие бывают источники погрешностей?
• 4. Погрешности суммы и разности?
• 5. Погрешности произведения и частного?
• 6. Общая формула погрешности?