Отделение корней

Приближенное значение корня может быть определено различными способами.

Графический метод отделения корней

Пусть требуется отделить корни уравнения (2.1). Строим график функции Дх) = 0. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью ОХ будут приближенными значениями корней уравнения (2.1).

Часто уравнение (2.1) преобразовывают к более простому виду. Допустим:

Строим графики функций: yi = cpi(x); и yi=q>i(x). Корнями уравнения (2.3) будут являться абсциссы пересечения этих графиков.

Пример 2.1. Отделить корни уравнения /(х) = х ? lgx - 1=0. Преобразуем уравнениеДх) к виду:

Построим графики функций у, = lg х ну₂ = 1/х (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Графический метод отделения корней

Точка пересечения графиков дает приближенное значение единственного корня ?, а 2,5.

Аналитический метод отделения корней

Теорема. Если непрерывная функция /(х) принимает значения разных знаков на концах отрезка [а, Ь~, т. е./(а) ? f{b) < 0, то между точками а и b имеется хотя бы один действительный корень уравнения /(х) = 0, т. е. существует такое число принадлежащее [а, 6], что ,/(^) = 0 (рис. 2.2) [3, 8, 10].

Рис. 2.2

Если на заданном отрезке [а, Ь] существует первая производная /’(х), сохраняющая знак внутри [а, Л] (/’(х) > 0 или f{x) < 0), то корень ?, будет единственным (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции на концах отрезка а и Ь. Затем определяются знаки в промежуточных точках. Далее выделяются отрезки, на границе которых функция меняет знак на противоположный. Выделенные отрезки содержат корень уравнения.

Пример 2.2. Отделить корни уравнения /(х)=х³ - 1х + 3 = 0.

При заданных значениях х от - оо до + <х> определяются знаки функции Дх). Результаты поиска приведены в таблице.

В результате выделены три интервала, на которых функция Дх) имеет действительные корни: [-3, -1]; [0, 1]; [1, 3].

Блок-схема алгоритма отделения корней приведена на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Блок-схема метода отделения корней