Главная Информатика
ИНФОРМАТИКА.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Интерполяционный метод Гаусса-ЗейделяЭтот метод исключительно удобен для использования на ЭВМ. Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
Предположим, что аиФ 0; аи Ф 0; а33 Ф 0, и перепишем систему в следующем виде:
Теперь возьмем некоторое первое приближение к решению этой системы, обозначив его через х,(0), х2 х*01. Подставим это решение в (3.18) и вычислим новое значение х,(1):
Используя только что вычисленное значение х{'* и начальное значение *<° вычислим из уравнения (3.19) новое значение х2:
Наконец, используя только что вычисленные значения х{'* и х2 найдем из (3.20) новое значение х3:
Этим заканчивается первая итерация. Теперь можно заменить исходные значения
В общем случае к-е приближение определяется формулами:
Пример 3.2. Решим систему уравнений
Нетрудно убедиться, что точное решение этой системы равно Х = 1, х2 = 1, х3 = 1. Положим х,0) = 0, х(2>] = 0, х<°> = 0, как это обычно делается для начального приближения. Тогда, согласно формулам:
Получаем следующее приближение:
Последовательные приближения, вычисленные каждый раз с точностью до четырех значащих цифр, приведены в табл. 3.1. Таблица 3.1
Для системы из п уравнений с п неизвестными (диагональные элементы отличны от нуля) к-е приближение к решению будет задаваться функцией
Интерполяционный процесс продолжается до тех пор, пока все х-к) не станут достаточно близки к х^~г>. Критерий близости можно задавать в следующем виде:
где определяется максимальное значение разности для всех /, a s - некоторое положительное число. Достаточным условием сходимости метода Гаусса-Зейделя является то, что диагональные члены должны преобладать в уравнении, т. е. они должны быть по абсолютной величине не меньше, а по крайней мере в одном случае больше недиагональных элементов для всех или для одного /:
Блок-схема алгоритма решения системы линейных уравнений итерационным методом Гаусса-Зейделя представлена на рис. 3.2, программа расчета на языке Паскаль приведена в приложении. В качестве практического примера использования методов решения систем линейных уравнений приведем поиск коэффициентов параболической аппроксимации по набору экспериментальных точек (см. пример 5.8 раздела 5.3.3). Решение этого примера надежнее проводить с помощью прямого метода Гаусса, т. к. условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя может не выполниться. Блок-схема алгоритма расчета представлена на рис. 3.3. Программа расчета на языке Паскаль приведена в приложении. Матрица коэффициентов системы линейных уравнений обозначена двумерным массивом аа, искомые коэффициенты параболической аппроксимации - массивом а. Вопросы для самоконтроля
![]() ![]() Рис. 3.2. Блок-схема решения системы линейных уравнений методом Гаусса-Зейделя ![]() ![]() Рис. 3.3. Блок-схема расчета коэффициентов квадратичной аппроксимации зависимости теплоемкости циклопропана от температуры с использованием метода Гаусса |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|