Интерполяционный метод Гаусса-Зейделя

Этот метод исключительно удобен для использования на ЭВМ.

Рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Предположим, что а_иФ 0; а_и Ф 0; а₃₃ Ф 0, и перепишем систему в следующем виде:

Теперь возьмем некоторое первое приближение к решению этой системы, обозначив его через х,⁽⁰⁾, х₂ х*⁰¹. Подставим это решение в (3.18) и вычислим новое значение х,⁽¹⁾:

Используя только что вычисленное значение х{'* и начальное значение *<° вычислим из уравнения (3.19) новое значение х₂:

Наконец, используя только что вычисленные значения х{'* и х₂ найдем из (3.20) новое значение х₃:

Этим заканчивается первая итерация. Теперь можно заменить исходные значения и вычислить следующее приближение.

В общем случае к-е приближение определяется формулами:

Пример 3.2. Решим систему уравнений

Нетрудно убедиться, что точное решение этой системы равно Х = 1, х₂ = 1, х₃ = 1. Положим х,⁰⁾ = 0, х⁽2^>] = 0, х<°> = 0, как это обычно делается для начального приближения. Тогда, согласно формулам:

Получаем следующее приближение:

Последовательные приближения, вычисленные каждый раз с точностью до четырех значащих цифр, приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Для системы из п уравнений с п неизвестными (диагональные элементы отличны от нуля) к-е приближение к решению будет задаваться функцией

Интерполяционный процесс продолжается до тех пор, пока все х-^к) не станут достаточно близки к х^~^г>. Критерий близости можно задавать в следующем виде:

где определяется максимальное значение разности для всех /, a s - некоторое положительное число.

Достаточным условием сходимости метода Гаусса-Зейделя является то, что диагональные члены должны преобладать в уравнении, т. е. они должны быть по абсолютной величине не меньше, а по крайней мере в одном случае больше недиагональных элементов для всех или для одного /:

Блок-схема алгоритма решения системы линейных уравнений итерационным методом Гаусса-Зейделя представлена на рис. 3.2, программа расчета на языке Паскаль приведена в приложении.

В качестве практического примера использования методов решения систем линейных уравнений приведем поиск коэффициентов параболической аппроксимации по набору экспериментальных точек (см. пример 5.8 раздела 5.3.3). Решение этого примера надежнее проводить с помощью прямого метода Гаусса, т. к. условие сходимости итерационного метода Гаусса-Зейделя может не выполниться. Блок-схема алгоритма расчета представлена на рис. 3.3. Программа расчета на языке Паскаль приведена в приложении. Матрица коэффициентов системы линейных уравнений обозначена двумерным массивом аа, искомые коэффициенты параболической аппроксимации - массивом а.

Вопросы для самоконтроля

• 1. В чем состоит постановка задачи при решении систем линейных уравнений?
• 2. Какие знаете методы решения линейных уравнений?
• 3. На чем основано решение систем линейных уравнений методом Гаусса?
• 4. Сущность метода Гаусса-Зейделя?

Рис. 3.2. Блок-схема решения системы линейных уравнений методом Гаусса-Зейделя

Рис. 3.3. Блок-схема расчета коэффициентов квадратичной аппроксимации зависимости теплоемкости циклопропана от температуры с использованием метода Гаусса