СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ

Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных уравнений [2, 6, 10, 12].

Пусть для вычисления неизвестных Х, х₂, ..., х„ требуется решить систему п нелинейных уравнений:

В отличие от систем линейных уравнений не существует прямых методов решения нелинейных систем общего вида. Лишь в некоторых случаях систему (4.1) можно решить непосредственно. Например, для случая двух уравнений иногда удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу к решению одного нелинейного уравнения относительно одного неизвестного. Для решения систем нелинейных уравнений обычно используют итерационные методы. Рассмотрим два из них - метод простой итерации и метод Ньютона.

Метод простой итерации

Систему уравнений (4.1) представим в следующем виде:

Запишем систему (4.2) в векторной форме: где

Для нахождения вектора корня х* = (х*,х*,...,х*) уравнения (4.3) часто удобно использовать метод итерации:

где начальное приближение х⁽⁰⁾ * х*. Это грубое значение искомого корня. Заметим, что если процесс итерации (4.5) сходится, то предельное значение

обязательно является корнем уравнения (4.3). Действительно, предполагая, что соотношение (4.6) выполнено, и переходя к пределу в равенстве (4.5) прир—>оо, в силу непрерывности функции ф(х) будем иметь:

т. е.

Таким образом, ?> есть корень векторного уравнения (4.3).

Рассмотрим метод простой итерации на примере системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными:

Решением системы (4.7) для хе [о, Ь] и ye [с, d будут такие значения х* и у*, которые обращают эту систему в тождество. Необходимо найти х* и у* с заданной степенью точности е.

Запишем систему (4.7) в эквивалентной форме:

Последовательные приближения будут вычисляться по формулам:

где х₀, уо - начальные приближения значения искомого корня.

Итерационный процесс можно считать законченным, как только выполнится неравенство

Для определения сходимости процесса имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть в некоторой заданной области хе[а, Ь] и ye[c,d] имеется единственное решение х*, у* системы (4.8) тогда, если:

• • ф)(х, у) и ф₂(х, у) определены и непрерывно дифференцируемы в заданной области;
• • начальные приближения х₀, у₀ и все последующие приближения х,„ у„ принадлежат заданной области;
• • в рассматриваемой области выполняются неравенства:

то процесс последовательных приближений (4.9) сходится к решению системы уравнений (4.11).

Пр имер 4.1. Методом итерации приближенно решить систему Решение. Преобразуем данную систему к виду (4.2):

Из графического построения (см. рис. 4.1) видно, что система имеет два решения, отличающиеся только знаком.

Ограничимся нахождением положительного решения. Из чертежа видим, что за начальное приближение положительного решения системы можно принять

Рис. 4.1. Отделение корней системы нелинейных уравнений Полагая

будем иметь

Аналогично,

И т. д.

Точное решение системы Х = 0,8261, х₂ = 0,5636.

Блок-схема метода итераций приведена на рис. 4.2. Имеют место следующие обозначения неравенств (4.11):