Метод Ньютона

Этот метод обладает более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. В случае одного уравнения Дх) = 0 алгоритм метода Ньютона может быть получен путем записи уравнения касательной к кривой у =/(лг) (линеаризация кривой у=/(х)). В основе метода Ньютона для системы уравнений также лежит идея линеаризации, а именно использование разложения функций f(x,, х₂, ..., х„) в ряд Тэйлора. Причем члены, содержащие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются.

Запишем систему (4.1) в векторной форме: где

Для решения системы (4.1) будем использовать метод последовательных приближений. Предположим, что найдено р-с приближение

одного из изолированных корней д: = (х,,*,,векторного уравнения (4.13). Тогда точный корень уравнения (4.1) можно представить в виде:

где - поправка (погрешность корня).

Рис. 4.2. Бок-схема метода простых итераций Подставляя выражение (4.14) в уравнение (4.13), получим:

Предполагая, что функция /(.г) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей х и х , разложим левую часть уравнения (4.15) по степеням малого вектора ^’ ограничиваясь линейными членами,

Из формулы (4.16) вытекает, что под производной f{x) следует понимать матрицу Якоби системы функций /_ь/₂, ..., /„ относительно переменных Х,Х2, х„, т. е.

или в краткой записи

Система (4.16) представляет собой линейную систему относительно поправок (/=1,2, ..., п) с матрицей Щх), поэтому формула (4.16) может быть записана в следующем виде:

Отсюда, предполагая, что матрица Щх^(р>) - неособенная, получим: Следовательно,

(метод Ньютона).

За нулевое приближение х⁽⁰⁾ можно взять грубое значение искомого корня.

В качестве примера рассмотрим метод Ньютона для решения системы двух уравнений:

Пусть хо и уо — начальные приближенные значения неизвестных.

Последовательные приближения к решению системы по методу Ньютона вычисляются по формулам:

где

Процесс вычисления по итерационным формулам (4.21) продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия:

Блок-схема алгоритма метода Ньютона приведена на рис. 4.3.

В формулах для расчета х_п+[ и у„+ системы (4.21) обозначим числители: D и D₂, а знаменатель - W.

Представим уравнение (4.21) в следующем виде:

Рис. 4.3. Блок-схема метода Ньютона

Вопросы для самоконтроля

• 1. Какие методы обычно применяются для решения систем нелинейных уравнений?
• 2. В чем суть решения систем нелинейных уравнений методом простых итераций?
• 3. Условие окончания итерационного процесса?
• 4. Что лежит в основе применения метода Ньютона?