Главная Информатика
ИНФОРМАТИКА.
|
|
||||||
Метод НьютонаЭтот метод обладает более быстрой сходимостью, чем метод простой итерации. В случае одного уравнения Дх) = 0 алгоритм метода Ньютона может быть получен путем записи уравнения касательной к кривой у =/(лг) (линеаризация кривой у=/(х)). В основе метода Ньютона для системы уравнений также лежит идея линеаризации, а именно использование разложения функций f(x,, х2, ..., х„) в ряд Тэйлора. Причем члены, содержащие вторые (и более высоких порядков) производные, отбрасываются. Запишем систему (4.1) в векторной форме:
Для решения системы (4.1) будем использовать метод последовательных приближений. Предположим, что найдено р-с приближение ![]() одного из изолированных корней д: = (х,,*,,векторного уравнения (4.13). Тогда точный корень уравнения (4.1) можно представить в виде:
где
![]() Рис. 4.2. Бок-схема метода простых итераций Подставляя выражение (4.14) в уравнение (4.13), получим:
Предполагая, что функция /(.г) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей х и х , разложим левую часть уравнения (4.15) по степеням малого вектора ^’ ограничиваясь линейными членами,
Из формулы (4.16) вытекает, что под производной f{x) следует понимать матрицу Якоби системы функций /ь/2, ..., /„ относительно переменных Х,Х2, х„, т. е.
или в краткой записи
Система (4.16) представляет собой линейную систему относительно поправок (/=1,2, ..., п) с матрицей Щх), поэтому формула (4.16) может быть записана в следующем виде: Отсюда, предполагая, что матрица Щх(р>) -
(метод Ньютона). За нулевое приближение х(0) можно взять грубое значение искомого корня. В качестве примера рассмотрим метод Ньютона для решения системы двух уравнений:
Пусть хо и уо — начальные приближенные значения неизвестных. Последовательные приближения к решению системы по методу Ньютона вычисляются по формулам:
где
Процесс вычисления по итерационным формулам (4.21) продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия:
Блок-схема алгоритма метода Ньютона приведена на рис. 4.3. В формулах для расчета хп+[ и у„+ системы (4.21) обозначим числители: D и D2, а знаменатель - W. Представим уравнение (4.21) в следующем виде:
![]() Рис. 4.3. Блок-схема метода Ньютона Вопросы для самоконтроля
|
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|