Линсйнаи интерполяции

Простейшим и часто используемым видом интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки х„ у, при /=0, 1,2, ..., п соединяются прямолинейными отрезками и функцию Дх) можно приближенно представить ломаной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется п интервалов (х, _ _ь х,), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности для /-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (х,__ь у,л) и (х„ у,), в виде:

Отсюда

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента т, а затем подставить его в формулу (5.4) и найти приближенное значение функции в этой точке.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция Дх) задана таблично. Это могут быть, например, значения концентраций продуктов реакции в зависимости от температуры, полученные экспериментально.

Значения х₀, a:i, ..., х„ называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими (шаг таблицы неравномерный).

Построим интерполяционный многочлен на отрезке [х₀, х„]. Запишем искомый многочлен в виде:

Геометрически задача интерполирования сводится к построению кривой через заданные точки.

Аналитически задача сводится к решению системы уравнений

Для определения коэффициентов многочлена (5.5) необходимо располагать п + 1 узловой точкой.

Чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо, чтобы количество неизвестных коэффициентов полинома (я,) - т + 1 - равнялось количеству уравнений п + 1 или т = п.

Пусть в (п + 1)-й точках х₀, х_ь..., х„ определены значения у₀, у_ь у_п. Требуется построить многочлен Р,,(х), принимающий в узловых точках заданные значения у,, т. е. такой, что

Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:

где Lj{x) - множитель Лагранжа, имеющий вид:

Следовательно, формулу Лагранжа можно представить в виде:

Числитель и знаменатель не должны включать в себя значения х — X/, так как результат будет равен нулю. В развернутом виде формулу Лагранжа можно записать в виде:

Блок-схема метода Лагранжа приведена на рис. 5.2.

При мер 5.1. Для функции y = sin7ix построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы: х₀, х, х₂.

Применяя формулу (5.10), получим:

Рис. 5.2. Блок-схема метода Лагранжа

Пример 5.2. Дана таблица значений теплоемкости вещества в зависимости от температуры C_p=j{T).

Вычислить значение теплоемкости в точке Г=450 К. Для решения воспользуемся формулой (5.10):

Значение теплоемкости при температуре 450 К