Главная Информатика
ИНФОРМАТИКА.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Линсйнаи интерполяцииПростейшим и часто используемым видом интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки х„ у, при /=0, 1,2, ..., п соединяются прямолинейными отрезками и функцию Дх) можно приближенно представить ломаной с вершинами в данных точках. Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется п интервалов (х, _ ь х,), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности для /-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (х,_ь у,л) и (х„ у,), в виде:
Отсюда
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента т, а затем подставить его в формулу (5.4) и найти приближенное значение функции в этой точке. Интерполяционный многочлен ЛагранжаПусть функция Дх) задана таблично. Это могут быть, например, значения концентраций продуктов реакции в зависимости от температуры, полученные экспериментально.
Значения х0, a:i, ..., х„ называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими (шаг таблицы неравномерный). Построим интерполяционный многочлен на отрезке [х0, х„]. Запишем искомый многочлен в виде:
Геометрически задача интерполирования сводится к построению кривой через заданные точки. Аналитически задача сводится к решению системы уравнений
Для определения коэффициентов многочлена (5.5) необходимо располагать п + 1 узловой точкой. Чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо, чтобы количество неизвестных коэффициентов полинома (я,) - т + 1 - равнялось количеству уравнений п + 1 или т = п. Пусть в (п + 1)-й точках х0, хь..., х„ определены значения у0, уь уп. Требуется построить многочлен Р,,(х), принимающий в узловых точках заданные значения у,, т. е. такой, что
Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:
где Lj{x) - множитель Лагранжа, имеющий вид:
Следовательно, формулу Лагранжа можно представить в виде:
Числитель и знаменатель не должны включать в себя значения х — X/, так как результат будет равен нулю. В развернутом виде формулу Лагранжа можно записать в виде:
Блок-схема метода Лагранжа приведена на рис. 5.2. При мер 5.1. Для функции y = sin7ix построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы: х0, х, х2.
Применяя формулу (5.10), получим:
![]() Рис. 5.2. Блок-схема метода Лагранжа Пример 5.2. Дана таблица значений теплоемкости вещества в зависимости от температуры Cp=j{T).
Вычислить значение теплоемкости в точке Г=450 К. Для решения воспользуемся формулой (5.10):
Значение теплоемкости при температуре 450 К
|
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|