ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Постановка задачи

При решении практических задач часто нужно найти производную указанных порядков от функции y=J{x), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции fix) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию fix) на интересующем отрезке [а, b] интерполирующей функцией Р(х) (чаще всего полиномом), а затем полагают

при

Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функцииДх).

Если для интерполирующей функции Р(х) известна погрешность

то погрешность производной Р '(.г) выражается формулой

т. е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции. То же самое справедливо и для производных высших порядков.

Следует отметить, что, вообще говоря, приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых

на отрезке [а, b] еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных f{x) и Рх), т. е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента (см. рис. 6.1).

Рис. 6.1