Метод парабол (формула Симпсона)

Этот метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций.

В основе формулы Симпсона лежит квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [а, 6] по трем равноотстоящим узлам.

Разобьем интервал интегрирования [а, b] на четное число п равных отрезков с шагом h.

Примем:

Значения функций в точках обозначим соответственно:

На каждом отрезке [х₀, х₂], [х₂, х₄], ..., [x,_i, х,+ |] подынтегральную функцию Дх) заменим интерполяционным многочленом второй степени:

где

В качестве Р,(х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через концы каждых трех ординат:

Формула Лагранжа для интервала [x,_i, ,t,+i] имеет вид:

Элементарная площадь s, (см. рис. 7.7) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что х, - х,_i=x,+i - х, = Л, проведем вычисления и получим для каждого элементарного участка:

После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим составную формулу Симпсона:

Часто пользуются простой формулой Симпсона

Рис. 7.7

Блок-схема алгоритма метода Симпсона представлена на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Блок-схема метода Симпсона

Пример 7.1. Вычислить интеграл

Разбиваем интервал интегрирования на 10 равных частей: «=10. Шаг интегрирования /? = ( 1 — 0)/10 = 0,1. Результаты вычислений подынтегральной функции приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Xi	х}	1 + х[	J[x,)i=,3,...	Лхд /=2,4,...	Л*о),Л*1о)
0,0	0,00	1,00	-		1,00000
0,1	0,01	1,01	099010	-	-
0,2	0,04	1,04	-	0,96154	-
0,3	0,09	1,09	0,91743	-	-
0,4	0,16	1,16	-	0,76207	-
0,5	0,25	1,25	0,70000	-	-
0,6	0,36	1,36		0,073529
0,7	0,49	1,49	0,67114	-	-
0,7	0,64	1,64	-	0,60976	-
0,9	0,71	1,71	0,55249	-	-
1,0	1,00	2,00	-	-	0,50000
		?	3,93116	3,16766	1,50000

Вычислим интеграл по формуле трапеций (7.12): по формуле Симпсона (7.15):

Для вычисления интеграла по методу прямоугольников необходимо вычислить значения функции в середине каждого элементарного отрезка или . Результаты вычислений подынтегральной

функции приведены в табл. 6.2.

По формуле прямоугольников (7.6) получим:

Найдем точное значение интеграла:

Относительная погрешность при применении формулы трапеций составляет 0,05 %, формулы прямоугольников - 0,026 %, формулы

Симпсона - 0,00025 %. Таким образом, точность вычислений по формуле Симпсона выше, чем по формулам трапеций и прямоугольников.

Таблица 6.2

0,0	0,05	0,0025	0,9975
0,1	0,15	0,0225	0,9770
0,2	0,25	0,0625	0,9412
0,3	0,35	0,1225	0,7907
0,4	0,45	0,2025	0,7316
0,5	0,55	0,3025	0,7677
0,6	0,65	0,4225	0,7030
0,7	0,75	0,5625	0,6400
0,7	0,75	0,7225	0,5705
0,9	0,95	0,9025	0,5256
1,0	1,00	1,00	-
		I	7,856

Пр имер 7.2. Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле

Принимаем количество молей п= 1, значение теплоемкости при v=const:

Разобьем интервал интегрирования на 10 равных частей. Шаг интегрирования будет равен Л = (500-400) /10=10. Результаты вычислений подынтегральной функции поместим в таблицу.

Вычислим интеграл, используя данные таблицы:

• по формуле трапеций (7.12)

• по формуле Симпсона (7.15)

• по формуле прямоугольников (7.6) Найдем точное значение интеграла:

т
400	-		0.0875	405	0.08642
410	0,08536			415	0,08434
420		0,08333		425	0,08235
430	0,08140			435	0,08046
440		0,07955		445	0,07865
450	0,07778			455	0,07692
460		0,07609		465	0,07527
470	0,07447			475	0,07368
480		0,07292		485	0,07216
490	0,07143			495	0,07071
500			0,0700
I	0,39044	0,31189	0,1575		0,78096

Относительная погрешность вычислений по формуле трапеций, Симпсона и прямоугольников составляет соответственно: 0,01, 0,001, 0,005 %.

Таким образом, наибольшую точность вычислений получили по формуле Симпсона.

Вопросы для самоконтроля

• 1. При решении каких задач пользуются методами численного интегрирования?
• 2. На чем основано применение метода прямоугольников?
• 3. На основе каких предпосылок выводится формула трапеций?
• 4. В чем суть метода парабол?
• 5. Какой из рассмотренных методов является наиболее точным?