Главная Информатика
ИНФОРМАТИКА.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Метод парабол (формула Симпсона)Этот метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций. В основе формулы Симпсона лежит квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [а, 6] по трем равноотстоящим узлам. Разобьем интервал интегрирования [а, b] на четное число п равных отрезков с шагом h. Примем:
Значения функций в точках обозначим соответственно:
На каждом отрезке [х0, х2], [х2, х4], ..., [x,_i, х,+ |] подынтегральную функцию Дх) заменим интерполяционным многочленом второй степени:
где
В качестве Р,(х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через концы каждых трех ординат:
Формула Лагранжа для интервала [x,_i, ,t,+i] имеет вид:
Элементарная площадь s, (см. рис. 7.7) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что х, - х,_i=x,+i - х, = Л, проведем вычисления и получим для каждого элементарного участка:
После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим составную формулу Симпсона:
Часто пользуются простой формулой Симпсона
![]() Рис. 7.7 Блок-схема алгоритма метода Симпсона представлена на рис. 7.8. ![]() Рис. 7.8. Блок-схема метода Симпсона Пример 7.1. Вычислить интеграл ![]() Разбиваем интервал интегрирования на 10 равных частей: «=10. Шаг интегрирования /? = ( 1 — 0)/10 = 0,1. Результаты вычислений подынтегральной функции приведены в табл. 6.1. Таблица 6.1
Вычислим интеграл по формуле трапеций (7.12):
Для вычисления интеграла по методу прямоугольников необходимо вычислить значения функции в середине каждого элементарного отрезка
функции приведены в табл. 6.2. По формуле прямоугольников (7.6) получим:
Найдем точное значение интеграла:
Относительная погрешность при применении формулы трапеций составляет 0,05 %, формулы прямоугольников - 0,026 %, формулы Симпсона - 0,00025 %. Таким образом, точность вычислений по формуле Симпсона выше, чем по формулам трапеций и прямоугольников. Таблица 6.2
Пр имер 7.2. Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле
Принимаем количество молей п= 1, значение теплоемкости при v=const:
Разобьем интервал интегрирования на 10 равных частей. Шаг интегрирования будет равен Л = (500-400) /10=10. Результаты вычислений подынтегральной функции поместим в таблицу. Вычислим интеграл, используя данные таблицы: • по формуле трапеций (7.12)
• по формуле Симпсона (7.15)
• по формуле прямоугольников (7.6)
Относительная погрешность вычислений по формуле трапеций, Симпсона и прямоугольников составляет соответственно: 0,01, 0,001, 0,005 %. Таким образом, наибольшую точность вычислений получили по формуле Симпсона. Вопросы для самоконтроля
|
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|