Методы Рунге-Кутты

Широкая категория методов, наиболее часто применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений, известна под общим названием методы Рунге-Кутты. Различные методы этой категории требуют большего или меньшего объема вычислений и соответственно обеспечивают большую или меньшую точность.

Методы Рунге-Кутты обладают следующими отличительными свойствами:

• эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти значение

функции в точке у,+| нужна информация только о предыдущей точке (у„ х,);

• • они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h^k, где степень к определяет порядок метода;
• • эти методы не требуют вычисления производных отДх,у), а требуют вычисления самой функции.

Именно благодаря последнему свойству методы Рунге-Кутты более удобны для практических вычислений.

Метод Эйлера (метод Рунге-Кутты первого порядка)

Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Этери. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.

Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка

с начальным условием

т. е. необходимо решить задачу Коши.

В окрестности точки х₍₎ функциюу(х) разложим в ряд Тейлора:

который можно применить для приближенного определения искомой функции у(х). В точке х₍₎ + h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда (8.7), тогда

где 0(1г²) - бесконечно малая величина порядка /г². Заменим производную y'(x_Q), входящую в формулу (8.7), на правую часть уравнения (8.5):

Теперь приближенное решение в точке х_{ =x_Q + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (8.9) найти значение искомой функции в следующей точке х₀=х_{ + h. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных.

Метод Эйлера можно представить в виде последовательного применения формул:

для точки

Таким образом, формула Эйлера в общем случае имеет вид:

Название «метод ломаных» связано с его геометрической интерпретацией. Искомая функция >{л') заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах х₍₎, х_п. Выведем формулы на основе геометрических аналогий. Предположим, что нам известна точка (x₀, у₀) на искомой интегральной кривой (см. рис. 8.1).

Рис. 8.1

Через точку (х«, у₀) проведем касательную с тангенсом угла наклона: Уравнение касательной имеет вид:

Тогда в точке X] =л'₍₎ + h, с учетом (8.13), получим решение:

Ошибка решения в точке x=x_t показана в виде отрезка Д.

Формула (8.12) является методом Рунге-Кутты первого порядка, т. к. она согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h^l.

Метод Эйлера имеет довольно большую погрешность вычисления: Д«0(И). Кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая ошибка (например, заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом х. На рис. 8.2 приведена блок-схема метода Эйлера, в приложении - программа расчета.

Рис. 8.2. Блок-схема метода Эшера

Пример 8.1. Для химической реакции

Изменение концентраций веществ А и В можно описать следующими кинетическими уравнениями:

с начальными условиями:

Требуется получить зависимость изменения концентрации вещества А от времени, т. е. необходимо решить дифференциальное уравнение (решить задачу Коши).

Исходные данные:

G, о=1 моль/л;

Св. о⁼ 0;

к=0,2 с интервал интегрирования /=[0, 5].

Обозначим С_А =у, тогда

Примем величину шага h = 0,1. Решим данное уравнение методом Эйлера (8.12).

Последовательность решения. Найдем решение в точке:

Для того чтобы проинтегрировать данное уравнение на интервале /=[0, 5] с шагом И = 0,1, потребуется n=t/h=5 /0,1= 50 шагов вычислений.

На примере первых четырех шагов мы показали последовательность вычислений по методу Эйлера. Если аналогично выполнить расчеты во всех точках, то в момент времени t=5 с концентрация вещества А будет равна

Точное решение дифференциального уравнения (8.14) в точке t=5: G = 0,3679 моль/л. Относительная ошибка метода Эйлера составляет около 1 %. Значения концентраций вещества А, рассчитанные по методу Эйлера, и точные значения С_А в точках t= 1, 2, 3,4, 5 с приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Построим график изменения концентрации вещества А в зависимости от времени (рис. 8.2 а).

Рис. 8.2 а

Для получения более точных результатов по методу Эйлера используют различные приемы. Рассмотрим уточненный метод Эйлера.