Главная Информатика
ИНФОРМАТИКА.
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Методы Рунге-КуттыШирокая категория методов, наиболее часто применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений, известна под общим названием методы Рунге-Кутты. Различные методы этой категории требуют большего или меньшего объема вычислений и соответственно обеспечивают большую или меньшую точность. Методы Рунге-Кутты обладают следующими отличительными свойствами: • эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти значение функции в точке у,+| нужна информация только о предыдущей точке (у„ х,);
Именно благодаря последнему свойству методы Рунге-Кутты более удобны для практических вычислений. Метод Эйлера (метод Рунге-Кутты первого порядка)Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Этери. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов. Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка
с начальным условием
т. е. необходимо решить задачу Коши. В окрестности точки х() функциюу(х) разложим в ряд Тейлора:
который можно применить для приближенного определения искомой функции у(х). В точке х() + h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда (8.7), тогда
где 0(1г2) - бесконечно малая величина порядка /г2. Заменим производную y'(xQ), входящую в формулу (8.7), на правую часть уравнения (8.5):
Теперь приближенное решение в точке х{ =xQ + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (8.9) найти значение искомой функции в следующей точке х0=х{ + h. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных. Метод Эйлера можно представить в виде последовательного применения формул: для точки
Таким образом, формула Эйлера в общем случае имеет вид:
Название «метод ломаных» связано с его геометрической интерпретацией. Искомая функция >{л') заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах х(), хп. Выведем формулы на основе геометрических аналогий. Предположим, что нам известна точка (x0, у0) на искомой интегральной кривой (см. рис. 8.1). ![]() Рис. 8.1 Через точку (х«, у0) проведем касательную с тангенсом угла наклона:
Тогда в точке X] =л'() + h, с учетом (8.13), получим решение:
Ошибка решения в точке x=xt показана в виде отрезка Д. Формула (8.12) является методом Рунге-Кутты первого порядка, т. к. она согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка hl. Метод Эйлера имеет довольно большую погрешность вычисления: Д«0(И). Кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым - малая ошибка (например, заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом х. На рис. 8.2 приведена блок-схема метода Эйлера, в приложении - программа расчета. ![]() Рис. 8.2. Блок-схема метода Эшера Пример 8.1. Для химической реакции
Изменение концентраций веществ А и В можно описать следующими кинетическими уравнениями:
с начальными условиями:
Требуется получить зависимость изменения концентрации вещества А от времени, т. е. необходимо решить дифференциальное уравнение (решить задачу Коши). Исходные данные: G, о=1 моль/л; Св. о= 0; к=0,2 с интервал интегрирования /=[0, 5]. Обозначим СА =у, тогда
Примем величину шага h = 0,1. Решим данное уравнение методом Эйлера (8.12). Последовательность решения. Найдем решение в точке:
Для того чтобы проинтегрировать данное уравнение на интервале /=[0, 5] с шагом И = 0,1, потребуется n=t/h=5 /0,1= 50 шагов вычислений. На примере первых четырех шагов мы показали последовательность вычислений по методу Эйлера. Если аналогично выполнить расчеты во всех точках, то в момент времени t=5 с концентрация вещества А будет равна
Точное решение дифференциального уравнения (8.14) в точке t=5: G = 0,3679 моль/л. Относительная ошибка метода Эйлера составляет около 1 %. Значения концентраций вещества А, рассчитанные по методу Эйлера, и точные значения СА в точках t= 1, 2, 3,4, 5 с приведены в табл. 8.1. Таблица 8.1
Построим график изменения концентрации вещества А в зависимости от времени (рис. 8.2 а). ![]() Рис. 8.2 а Для получения более точных результатов по методу Эйлера используют различные приемы. Рассмотрим уточненный метод Эйлера. |
<< | СОДЕРЖАНИЕ | ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ | >> |
---|