Системы дифференциальных уравнений

Очень часто приходится иметь дело с задачей, в которой необходимо решить систему нескольких дифференциальных уравнений с несколькими искомыми функциями.

Будем рассматривать нормальные системы дифференциальных уравнений, в которых уравнения разрешены относительно производных и число уравнений равно числу неизвестных функций. Например, система двух уравнений с двумя неизвестными функциями у, z от одного и того же аргумента х в нормальной форме имеет вид:

причем штрих означает производную по х. Общий вид нормальной системы п уравнений с п неизвестными функциями х_ь х₂, ..., х_п от переменной t имеет вид:

Рассмотренные численные методы решения дифференциального уравнения вида у = fix, у) без труда переносятся на системы вида (8.35); каждый раз при переходе к следующей точке параллельно вычисляются приращения каждой из неизвестных функций по аналогичным формулам.

Так, для нормальной системы двух уравнений

используя метод Эйлера, можно записать расчетные формулы так:

Аналогично поступают и для всех других методов.

Вопросы для самоконтроля

• 1. Сформулируйте задачу Коши.
• 2. Особенности методов Рунге-Кутты?
• 3. Геометрическая интерпретация формулы Эйлера.
• 4. В чем суть уточненного метода Эйлера?
• 5. Особенность методов Рунге-Кутты 2-го и 3-го порядка?
• 6. На чем основано применение метода Рунге-Кутты 4-го порядка?