Непрерывность функции

Определение 10.15. Функция у = fix) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности этой точки и если lim fix) = /(х0). С геометрической точки зрения непрерывная фупк-

ция — это функция, график которой есть непрерывная кривая. Существует несколько эквивалентных определений непрерывности.

Определение 10.16. Функция у = fix) называется непрерывной в точке х = х0, если для любого сколь угодно малого положительного числа е существует такое положительное число 8, что для всех значений х, удовлетворяющих условию х - х0| < б выполняется неравенство:

Пример

Покажем, что у = sin х непрерывна в произвольной точке х0. Действительно, придадим аргументу приращение Дх. Тогда функция получит приращение

Следовательно, функция у = sin х непрерывна.

Аналогично можно доказать, что любая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Справедливы следующие утверждения.

  • 1. Если функции fix) и g(x) непрерывны в точке х0, то их сумма (новая функция) ф(х) = /(х) + g(x) также будет непрерывна в этой точке.
  • 2. Произведение двух непрерывных функций есть непрерывная функция.
  • 3. Частное двух непрерывных функций есть непрерывная функция, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.
  • 4. Если и = ф(х) непрерывна при х = хц и f(u) непрерывна в точке и0 = Ф0(х), то сложная функция у = /[ф(х)] непрерывна в точке х0.

Доказательства этих утверждений основаны на свойствах пределов. Из вышеприведенных утверждений следует теорема.

Теорема 10.3. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Если функция fix) не является непрерывной в точке х0, то точка х0 называется точкой разрыва функции fix). Различают точки разрыва первого рода,

когда существуют конечные пределы lim /(х) и lim fix), но lim /(х) ^

х—Д',,+0 .г-*дг0-0 ?г-*ж<|+0

lim fix), и второго рода, когда хотя бы один из пределов слева или

справа бесконечен или не существует. Среди точек разрыва следует отметить также и точки устранимого разрыва, когда предел функций fix), при х —* х0, существует, но не равен /(х0).

Примеры

1. у = arctg-.

Здесь х0 = 0 — точка разрыва первого рода, так как предел при х1 0 слева равен -п/2, а предел при х —» 0 справа равен к/2.

  • 1
  • 2. у -

х

Здесь ,г0 = 0 — точка разрыва второго рода.

Isinx

—- ПРИ**°-

О, при х = 0.

sin .г

Здесь х0 = 0 — точка устранимого разрыва, так как существует lim-= 1.

х— 0 X

Определение 10.17. Если функция у = /(х) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что функция непрерывна на этом промежутке.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

  • 1. Если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке.
  • 2. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке а, Ь, то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М (т.е. существуют на этом отрезке точка cv в которой /(с,) = т, и точка с2, в которой/(с2)=М).
  • 3. Если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь и ее значения на концах отрезка имеют разные знаки, то внутри отрезка найдется такая точка с, что /(с) = 0.

Эти свойства также являются теоремами. Доказать их не просто, и мы этого делать не будем. Однако все они являются частными случаями следующего утверждения (которое интуитивно кажется очевидным): если функция у =/(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то область ее изменения есть отрезок.

Рассмотренное в этом разделе понятие предела функции (и связанной с ним непрерывности) является основополагающим в математическом анализе. В той или иной форме понятие предела лежит в основе важнейших разделов математики — дифференциального и интегрального исчисления, к изучению чего мы и приступим в следующих подразделах.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >