Геометрический смысл производной и дифференциала

Все аналитические характеристики и особенности функции хорошо отражаются на ее графике. Выясним, какие геометрические построения отводятся производной и дифференциалу. Зафиксировав значение аргумента х0 и выбрав произвольное приращение Дх, отметим все те элементы графика

Геометрический смысл производной и дифференциала

Рис. 10.14. Геометрический смысл производной и дифференциала

функции у = /(х), которые приводят к понятию производной, и далее, дифференциала (рис. 10.14).

Прямая, проходящая через точки N и М называется секущей графика функции у = f(x). Из прямоугольного треугольника AMN находим, что угловой коэффициент k секущей равен тангенсу угла наклона этой прямой

Ау

к оси Ох, т.е. равен отношению —. Если Ах —? 0, то это отношение, по определению, стремится к значению производной fx) в точке х0. Между тем, при Ах5- 0 переменная точка N вдоль графика стремится к точке М и поэтому секущая стремится занять некоторое предельное положение, которому отвечает угол а и, соответственно, угловой коэффициент kv Итогом этого процесса является следующее определение.

Определение 10.20. Предельное положение секущей называется касательной к графику функции у = /(х) в точке М.

Теперь, если объединить два аспекта — геометрический и аналитический, заключаем, что угловой коэффициент k{ касательной равен значению производной f'(x0):

По координатам точки M(x0,f(x0)) и угловому коэффициенту kx = /'(х0) уравнение касательной к графику функции у = /(х) в точке М записывается в следующем виде:

Здесь х, у — координаты произвольной точки касательной, т.е. текущие координаты.

Поскольку х - х0 = Ах, то приращение у -/(х0), которое при переходе от х0 к х0 + Ах получает ордината точки касательной, есть не что иное, как дифференциал dy в точке х0.

Замечание. Физический смысл дифференциала состоит в том, что он выражает путь, которое прошло бы тело с момента времени t, если бы, начиная с этого момента, движение стало равномерным. Графиком пути этого равномерного движения как раз и является касательная к графику функции S = S(t) в точке, соответствующей моменту времени t.

Определение 10.21. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью.

Угловой коэффициент к2 нормали определяем из условия перпендикулярности двух прямых k{k., + 1 = 0, г.е. находим

Поэтому уравнение нормали имеет следующий вид:

Подведя итог рассмотренному материалу, дадим следующее фундаментальное определение.

Определение 10.22. Функция у = fix) называется дифференцируемой

при х = х0, если при этом значении х она имеет производную (или дифференциал).

Производная и дифференциал играют фундаментальную роль в математике и ее приложениях. Вычисление производной f'{x) (или дифференциала dy) называется дифференцированием функции /(.г); этой операцией необходимо овладеть каждому, кто намерен пользоваться в своей работе математическими методами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >