Интегрирование функций

Как мы уже уяснили, важнейшей операцией математического анализа является дифференцирование, которое по заданной функции определяет новую функцию — ее производную. Здесь вполне уместно поставить вопрос об обратной операции для дифференцирования, которая по заданной производной восстанавливала бы исходную функцию. Интегрирование — так называется эта операция, — наряду с дифференцированием является важнейшей составляющей высшей математики, в той или иной форме встречается во всех областях знаний, использующих математические средства для решения своих конкретных задач. Глубинный смысл, как думает профессор Ю. В. Павлюченко, этого понятия раскрывается в латинской первооснове слова «интегрирование» - что значит объединение, собирание воедино, в противоположность дифференцированию, которое означает разделение, разобщение.

Неопределенный интеграл: основные определения и понятия

Техника интегрирования. Предположим, что на некотором промежутке (конечном или бесконечном, замкнутом или открытом) задана непрерывная функция у =/(х). Дадим следующие основные определения.

Определение 10.26. Функция у = F(x) называется первообразной функции у = f(x), если в каждой точке промежутка функция f(x) является производной функции F(x):

Определение 10.27. Однопараметрическое семейство первообразных функций F(x) + С называется неопределенным интегралом функции /(х):

Здесь символ | — знак интеграла;/(х) — подынтегральное функция; произведение/(я:)«!г — подынтегральное выражение; С — произвольная постоянная.

Отыскание всех первообразных данной функции называется ее интегрированием. Запишем формулы, выражающие данные выше определения и взаимную обратимость дифференцирования и интегрирования.

Табличные интегралы. По таблице производных составим таблицу интегралов некоторых элементарных функций (табл. 10.2). Каждая из этих новых формул легко проверяется дифференцированием.

Таблица 10.2

Таблица интегралов

ха+1

1. jxadx = "+‘ + С (а -1)

6. Jexdx — ех + С

f dx , , ,

  • 2. —--- ln|x| + С
  • 1 X

с с/х

7-1 2 - tgx + С

J COS-X

3. jsinx<&: = -cosx + С

г с/х

8. . 9 -ctg* + С J sinzx

4. jcosхс/х = sinx + С

Г с/х

9. -, = arctgx + С

J + X*

г а'

5. а'с/х = . + С J та

10. ftgxdx= -ln|cosx| + С

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >