Уравнения движения сплошной среды

Уравнение движения в интегральной форме

В механике сплошных сред теорема об изменении главного вектора количества движения однофазной среды формулируется следующим образом: индивидуальная производная от главного вектора количества движения «жидкого объема» равна сумме главных векторов внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к частицам, расположенным соответственно в объеме и на поверхности:

Для многофазного континуума, состоящего из N фаз, уравнение движения записывается для каждой из i = ,2,...,N фаз. В правой части уравнения (1.14) добавляется главный вектор сил, связанных с межфазным взаимодействием.

где Pjj = Ру — интенсивность обмена импульсом между у'-й и /-й составляющими (фазами).

Уравнения (1.14) и (1.15) выражают закон об изменении количества движения. Они относятся к основным законам природы для сплошных сред и подтверждены огромным количеством опытных данных.

Уравнение движения в алгебраической форме

Область течения жидкости или газа разбиваем на фиксированные малые, но конечные контрольные объемы V. В уравнениях (1.14) и (1.15) интегралы заменяются приближенными выражениями по теореме «о среднем». Используем известную формулу о производной по времени от интеграла по движущемуся объему V :

Для однофазной среды из (1.14) получим:

где суммирования по граням до к = 6 производятся для шестигранного объема в 3D области и до к = 4 для четырехугольника в 2D области; верхними индексами (/?) и (/z + l) обозначены параметры в моменты времени г"^ и г"⁺¹) = + Д?. Все слагаемые, кроме первого, в уравнении

(3.16) вычисляются в момент времени t = t^'^+?At, где 0

Для /-й фазы в N-Pi фазной среде уравнение (1.15) может быть аппроксимировано соотношениями для каждого выделенного контрольного объема V.

Уравнение движения в дифференциальной форме (в напряжениях)

Преобразуем интегралы по поверхности 5 в (1.14) в интегралы по объему V, воспользовавшись формулами Гаусса- Остроградского:

Тогда для однофазной среды в декартовой системе координат (x,y,z):

Ввиду произвольности объема V, подынтегральная функция в (1.20) равна нулю. Тогда, с учетом уравнения неразрывности

получим уравнение движения в дифференциальной форме:

Для каждой /-й фазы (/ = 1,2,...,jV) из уравнения (1.15) получим, проводя преобразование, аналогичные соотношения

(1.16) — (1-21), с учетом уравнения неразрывности /-й фазы (1.26):

dpt . „ .

где--производная, связанная с движением /-и фазы.

dt