Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ТЕОРИЯ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В НЕФТЕГАЗОВЫХ И СТРОИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Уравнения теплопроводности

Уравнение теплопроводности в неподвижной среде

К выводу уравнения теплопроводности в неподвижной среде

Рис. 3.1. К выводу уравнения теплопроводности в неподвижной среде

Выделим (мысленно) объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S (рис. 3.1). Выделим на этой поверхности малый участок dS с вектором нормали Я. Так как участок выбран произвольно, то направление вектора нормали, вообще говоря, не совпадает с направлением вектора градиента температуры, поэтому количество тепла, протекающего за единицу времени через этот участок, пропорционально проекции вектора градиента температуры на вектор нормали: dq = -X{gradT-n)dS. Далее, внутри объема могут действовать источники тепла — положительные или отрицательные. Обозначим через f{x, у, z, t) количество выделяемого или поглощаемого тепла в единицу времени в единице объема, причем будем считать эту функцию положительной, если тепло выделяется, и отрицательной, если поглощается; размерность этой функции: Вт/м3. Тогда баланс энергии выделенного объема V можно записать в виде:

Полученное равенство можно назвать уравнением теплопроводности в интегральной форме. Его левая часть выражает изменение количества тепла, находящегося внутри объема V за единицу времени, первое слагаемое в правой части — количество тепла, протекающего за единицу времени через поверхность S, а последнее слагаемое — количество тепла, выделившееся или поглотившееся (в зависимости от знака функции У) в объеме V за единицу времени. Обратим внимание на знак перед первым интегралом в правой части уравнения (3.5): по физическому смыслу знак производной от количества тепла, содержащегося внутри объема (знак левой части) должен быть положителен, если это количество возрастает, т. е. если в объем втекает тепла больше, чем вытекает, и наоборот.

Преобразуя по теореме Остроградского-Гаусса интеграл по поверхности в интеграл по объему, получаем уравнение теплопроводности в неподвижной среде в дифференциальной форме:

Если коэффициент теплопроводности можно считать константой, то вынося его из-под знака дивергенции, получаем более компактную форму уравнения (3.6):

где а =- — коэффициент температуропроводности (ко-

с-р

эффициент, характеризующий скорость изменения температуры в единице объема), А — оператор Лапласа (лапласиан). В частном случае для одномерного температурного поля при отсутствии внутренних источников тепла (f = 0) уравнение теплопроводности в твердых телах имеет вид:

Лапласиан температуры в различных системах координат имеет вид:

д2т д2т д2т

- в декартовой: ДГ = —г + —--

дх1 ду dz~

А 1 д ( дт 1 д2т д2т

- в цилиндрической: А7 =--/--+ ^г—тН--

г дг дг) Г2 дер2 dz2

_ „ 1 д ( 2 дТ 1 д2Т

- в сферической: АГ = —— г — + , , — - , +

г дг дг ) r~ Sin" в дер -

1 д ( . пдТ

Н—5--- sin 6^ —— .

г2 sin 0 дв дв )

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>