Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ТЕОРИЯ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В НЕФТЕГАЗОВЫХ И СТРОИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Примеры решения нестационарных задач

Температурное поле непрерывного неподвижного точечного источника в неограниченной среде. Функция ошибок Гаусса (функция erf(x))

Если в точке с координатами х у', z' в интервале времени от t' = 0 до t' = t работает источник тепла мощностью W, то температурное поле этого источника, как указано выше, может быть найдено интегрированием фундаментального решения по t' от 0 до t (т.е. от момента включения до момента выключения источника). Поместим начало координат в точку, где находится источник тепла. Тогда х' = у' = z'= О, и формула для температуры принимает вид:

где г1 ={х-х')2 +{у-у'У +(z-z')22г +z2 — квадрат расстояния от источника до точки наблюдения.

Произведем в интеграле (3.34) замену переменных: г2 / [4г/ (t - Г)] = а2 . Тогда: {t-t')V2 = г3/(SaV2a3),

dt' = г2 da / (2 аа2), пределы интегрирования: Н = 0 ->

a = r/(2fat), t' = t^>a = °°, и формула (3.34) принимает вид:

Первый интеграл, стоящий в скобках, известен из курса высшей математики:

а второй интеграл через элементарные функции не выражается и определяет специальную функцию, которая называется

функцией ошибок Гаусса, или интегралом вероятностей, или функцией эрфектум:

(читается «эрфектум» или сокращенно: «эрф»). Через эту функцию выражаются решения многих задач в теории теплопроводности, да и в других областях физики она играет важную роль.

Из определения (3.36) видно, что erj{0) = 0, a erj{о°) = 1, т. е. егДх) — это монотонно возрастающая функция, вид которой изображен на рис. 3.5. Функция erj{x) табулирована, и ее значения приводятся в различных справочниках; в табл. 3.2 приведены несколько значений этой функции. В библиотеках некоторых языков программирования имеются готовые подпрограммы для вычисления функции егДх). Если готовой подпрограммы нет, функцию erj{x) можно вычислить с помощью степенного ряда. «Стандартное» разложение этой функции в степенной ряд, которое обычно приводится в математических справочниках, имеет вид:

Рис. 3.5

Таблица 3.2

Некоторые значения функции erj{x)

л:

ефс)

X

erflx)

X

ефс)

X

erj(x)

X

erj{x)

0.0

0.0

0.3

0.32863

0.6

0.60386

0.9

0.79691

2.0

0.99532

0.1

0.11246

0.4

0.42839

0.7

0.67780

1.0

0.84270

2.5

0.99959

0.2

0.22270

0.5

0.52050

0.8

0.74210

1.5

0.96611

Этот ряд удобен для анализа свойств функции, но для практических расчетов он неудобен, т. к. является знакопеременным, что при вычислениях приводит к потере точности. Более удобен следующий ряд:

где

С помощью этого ряда легко составить программу вычисления егДх) на любом языке программирования и даже на программируемом микрокалькуляторе. Суммирование надо прекращать, когда при добавлении очередного а„-го слагаемого сумма перестанет меняться (будет достигнута «машинная точность»).

Если большой точности не требуется, то можно использовать приближенную формулу:

Формула (3.37) дает значения, абсолютная погрешность которых не более 6.3-10'1, а относительная погрешность не более 0.71%.

Иногда требуется определить erf{x) в области отрицательных значений х. Из формулы (3.36) очевидно, что erf{-x) = = -erf{x).

С функцией erj{x) связано еще несколько функций, часто встречающихся в теплофизических задачах. Это прежде всего дополнительный интеграл вероятностей:

который встречается настолько часто, что для него используется специальное обозначение: erfc(x) (сокращенно читается «эрфик»). Вид этой функции также приведен на рис. 3.5.

Довольно часто функцию erjx) приходится дифференцировать и интегрировать. Из определения (3.36) следует, что

а интеграл от erfc(x) (обозначается как ierfc(x)) равен:

Вернемся к формуле (3.35). Замечая, чторса = Я, запишем эту формулу в виде:

При t —> оо значение функции erf[r/(2yfat)] —» О, erfc[r/ (2y[at) —» 1, и формула (3.35), как и должно быть, совпадает с формулой для стационарного решения (если То принять за начало отсчета температуры), т. к. при t —*? °о достигается стационарное распределение температуры в безграничной среде.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>