Технологии решения систем эконометрических уравнений

Решение уравнений с помощью метода обратной матрицы. Для решения системы линейных уравнений методом обратной матрицы, необходимо представить ее в матричном виде, т.е. выделить основную матрицу (значения при неизвестных) и матрицу свободных членов. Учитывая, что неизвестные в уравнениях образуют матрицу неизвестных, то системы линейных уравнений, можно записать в матричном виде: А X = В. Если число уравнений т в системе линейных уравнений равно числу неизвестных п> то решением системы является уравнение

где А-1 обратная матрица к А. С помощью следующего примера разберем решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

Пример 6.1

Решение

  • 1. Введите в соответствующий диапазон числовые значения матрицы А (матрица при неизвестных) и В (матрица свободных членов).
  • 2. Для вычисления результата, выделите диапазон ячеек с размерностью (3; 1).
  • 3. Введите в диапазон следующую формулу:

=МУМНОЖ(МОБР(А);В).

4. Завершите ввод формулы комбинацией клавиш Ctrl + Shift + Enter (рис. 6.5) (ответ: х = 13, у = -6, z = 2).

Решение уравнений с помощью метода обратной матрицы

Рис. 6.5. Решение уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов. Случай, когда количество уравнений равно количеству неизвестных (т = п) в системе линейных уравнений, было рассмотрено выше. Данный случай является частным, а возможны следующие варианты, когда т^п, а именно: т > п, т < п.

Когда т < п и система линейных уравнений является совместной, она не определена и имеет бесконечное множество решений.

Вариант, когда т > п и система линейных уравнений совместна, то матрица А имеет по крайней мере т - п линейно независимых строк. В этом случае, решение системы линейных уравнений можно получить выбором п любых линейно независимых уравнений. Применив формулу X = А~Х • В, можно найти решение системы линейных уравнений, но в общем случае на практике применяется метод наименьших квадратов. Для этого обе части уравнения умножаются на выражение А1А (А[ — транспонированная матрица А). Далее обе части уравнения умножаются на выражение 1А)~ при условии, что данная матрица существует и система определена. Преобразовав левую и правую части полученного уравнения, формула решения системы линейных уравнений методом наименьших квадратов примет следующий вид:

Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов рассмотрим на примере.

Ппимрп fi.9

Решение

1. Введите в соответствующий диапазон числовые значения матрицы А (матрица при неизвестных) и В (матрица свободных членов) (рис. 6.6).

Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов

Рис. 6.6. Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов

2. Выделите диапазон ячеек размерностью 2 х 3 и с помощью формулы

=ТРАНСП(А)

вычислите транспонированную матрицу А1.

  • 3. Вычислите произведение А1 Вс помощью функции МУМНОЖ(Ат; В), предварительно проверив условие умножения матриц.
  • 4. Вычислите произведения матриц АтА, предварительно проверив условие умножения матриц.
  • 5. Вычислите обратную матрицу для АтА, использовав функцию МОБР.
  • 6. Вычислите произведение матрицы (предварительно проверив условие умножения), полученной в ходе выполнения предыдущего пункта, и матрицы, полученной в ходе выполнения выражения МУМНОЖ(Ат; В), и так мы получим выражение МУМНОЖ(МОБР(Ат ? А); МУМНОЖ(Ат; В)).
  • 7. Завершите ввод формулы комбинацией клавиш Ctrl + Shift + Enter (ответ: х = 0, у = 2).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >