Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Система произвольно расположенных сил

Система сил, произвольно расположенных на плоскости, представляет собой совокупность сил, линии действия которых могут быть расположены каким угодно образом.

Любую систему сил можно привести к заданному центру. Для этой цели необходимо рассмотреть новые понятия: момент силы относительно точки, главный вектор и главный момент.

Моментом силы относительно точки называется произведение величины силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рис. 2.9):

где hj — плечо силы относительно точки О, называемой центром момента; F) — величина силы.

Рис. 2.9

Для характеристики направления момента принято следующее правило знаков: момент считается положительным, если сила действует по отношению к точке О по часовой стрелке, и отрицательным — в противном случае. Единица измерения момента силы — килоныотон на метр (кН м).

Основные свойства момента силы, следующие из его определения:

  • • момент силы не изменится при переносе точки приложения силы по линии ее действия;
  • • если центр момента (точку О) переместить параллельно линии действия силы, то момент силы не изменится;
  • • алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости есть величина постоянная, равная моменту пары;
  • • если точка лежит на линии действия силы, то момент силы относительно этой точки равен нулю.

Пусть дана сила F, приложенная в какой либо точке А (рис. 2.10, а). Возьмем произвольную точку О и приложим к ней (на основании аксиомы 3) две направленные в противоположные стороны силы Fv равные и параллельные силе F. Одна из сил Fv добавленных к точке, вместе с заданной силой F образует пару с моментом М = Fh. Таким образом, без нарушения равновесия тела произведена замена силы F, приложенной

в точке Л, на силу F = F и пару с моментом М = Fh, приложенные в точке О (рис. 2.10, б).

Рис. 2.10

Произведенная операция называется приведением силы F к заданному центру О, а пара с моментом, равным моменту силы относительно точки О M = Fh, — присоединенной парой.

Приведение плоской системы сил к заданному центру. Рассмотрим произвольную систему сил F{, F2, F3, F4, ... на плоскости и произвольную точку О (рис. 2.11, а). Каждую из этих сил приведем к центру 0 по принципу, сформулированному в предыдущем разделе.

В результате получим систему сходящихся в центре О сил Flr F2, F3, FA, ... (рис. 2.11, 6) и такое же количество присоединенных пар с моментами М{ = = /•',/?!, М2 = F2h2, М3 = F:ih:i, МА = FAhA,....

Рис, 2.11

Сложив силы Fj, F2, F3, F4,..., получим равнодействующую силу Rrjl, равную их геометрической сумме и приложенную в той же точке О:

i

Сложив все полученные при приведении сил присоединенные пары, получим результирующую пару, момент которой Мгл равен алгебраической сумме моментов составляющих пар:

т.е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения О.

Геометрическая сумма сил системы RVJ[ называется главным вектором, алгебраическая сумма моментов этих сил относительно центра приведения Мгл — главным моментом.

Следовательно, система сил, произвольно расположенная в плоскости (см. рис. 2.11, а), всегда может быть приведена к силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения О, и к паре, момент которой равен главному моменту сил относительно того же центра (рис. 2.11, в).

Величина и направление главного вектора определяются но формулам (2.7) и (2.8):

при

Велич1 центра ПрИВеА^П*1Л, 1 «1 ГЧ.С1ГЧ. олидлщп^. D tnv^ltiviv V/ПЛШ Параллельно начальным положениям, следовательно, в любых точках плоскости мы получим одинаковые системы сходящихся сил. Значение же главного момента зависит от выбора центра приведения, так как при изменении координат центра приведения меняются плечи сил системы.

Легко показать, что главный момент можно представить в виде пары, где в качестве сил пары можно использовать R = /?гл, так как равнодействующая исследуемой системы сил по величине равна главному вектору. Плечо такой пары находится по определению пары, а именно

Из (2.15) следует, что главный момент может быть найден как момент равнодействующей системы сил:

>)

Совместно рассмотрев выражения (2.14) и (2.16), приходим к теореме Вариньона для плоской системы сил: если плоская система сил имеет равнодействующую, момент этой равнодействующей относительно любой точки равен сумме моментов сил системы относительно той же точки:

При приведении сил, произвольно расположенных на плоскости, к заданному центру возможны следующие случаи:

  • RTJ] Ф О, Мгл ф 0 — рассмотренный выше случай произвольной системы сил;
  • RTJl Ф О, А/гл = 0 — система сил сразу приводится к равнодействующей благодаря удачно выбранному центру приведения на линии действия равнодействующей;
  • • /?гл = О, Мгл * 0 — заданная система сил приводится к паре;

* А-л = О, Мгл = 0 — система сил находится в равновесии.

Первые три случая используются при решении инженерных задач, когда требуется привести к заданному центру активные силы, действующие на тело.

Условия равновесия системы произвольно расположенных сил. Итак, в случае равновесия и главный вектор, и главный момент системы сил относительно любой точки на плоскости равны нулю. Так как главный вектор есть равнодействующая приведенной системы сходящихся сил, то условия их равновесия удовлетворяются выражениями (2.10). Равновесие системы пар, равнодействующей которой является главный момент, удовлетворяется выражением (2.11). Записывая указанные выражения вместе, с учетом (2.14) и (2.17), получим первую форму уравнений равновесия для плоской произвольной системы сил:

где О — произвольная точка на плоскости.

Вторая форма уравнений равновесия имеет вид

где А, В — произвольные точки на плоскости; U — ось, не перпендикулярная прямой АВ.

И наконец, третья форма уравнений равновесия имеет вид

Где А, В, С ?— ПрОИЗВильмшс ШЧКИ па lumuiutin, Iи. лсшщпс па идпии нрпшип. Покажем справедливость уравнений (2.19) и (2.20).

Ранее уже говорилось, что произвольная система сил приводится либо к паре, либо к равнодействующей. Так как главные моменты системы сил относительно двух центров (2.19) равны нулю, то данная система сил не приводится к паре. Если силы приводятся к равнодействующей, то линия ее действия должна проходить через точки А и В, так как на основании теоремы Вариньона (2.17)

Но проекция равнодействующей на любую ось равна сумме проекций

П

составляющих сил, т.е. /?I7Icosa = = 0, где cosa^O, следовательно,

i=i

предполагаемая равнодействующая R = йгл = 0.

Следовательно, рассматриваемая система сил уравновешивается, и система уравнений (2.19) является уравнениями равновесия.

При использовании (2.20) силы не приводятся к паре, так как главные моменты этих сил относительно трех центров равны нулю. Силы не приводятся и к равнодействующей силе, так как если она существует, то линия ее действия не может пройти через три точки, не лежащие на одной прямой.

Следовательно, рассматриваемая система сил уравновешивается, и система уравнений (2.20) является уравнениями равновесия.

Итак, число уравнений равновесия для плоской произвольной системы сил равно трем, и они могут быть представлены в трех формах записи. При помощи этих уравнений можно решать задачи статики на плоскости при условии, что число неизвестных не будет более трех.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>