Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Определение усилий в стержнях плоских ферм

Основной сложностью при расчете ферм любой структуры и при любых опорных закреплениях является определение реакций в связях. Прежде чем рассчитывать ферму, необходимо проанализировать, как она образована, и определить, к какому типу она относится: к балочным, консольным или распорным фермам. Затем требуется определить реакции во внешних связях. Только после этого можно приступать к определению усилий. Определение реакций в связях необходимо производить в соответствии с требованиями параграфа 3.2.

Для определения усилий в стержнях ферм применяются два способа: способ вырезания узлов и способ сечений.

Способ вырезания узлов. Как уже отмечалось ранее, при вырезании любого узла фермы мы получаем плоскую систему сходящихся сил, которая должна удовлетворять двум уравнениям равновесия (2.10).

Неизвестные усилия в стержнях фермы, сходящихся в узле, направляют от узла, задаваясь их положительным значением (растяжением). Если в результате расчета получается отрицательное значение, это означает, что рассматриваемый стержень сжат.

Последовательность рассмотрения узлов фермы должна быть такой, чтобы каждый последующий узел содержал нс более двух неизвестных усилий.

При этом может оказаться, что в некоторых стержнях фермы усилия равны нулю (нулевые стержни) или их достаточно просто определить, не вырезая узел. Для этого рассмотрим некоторые частные случаи равновесия узлов ферм.

1. Двухстержневой незагруженный узел (рис. 7.3, а). Проецируем все силы на оси и перпендикулярные осям стержней.

Следовательно, в двухстержневом незагруженном узле усилия в обоих стержнях равны нулю.

Рис. 7.3

2. Двухстержневой загруженный узел (рис. 7.3, б), в котором внешняя сила направлена по оси одного из стержней.

Следовательно, в двухстержневом загруженном узле при действии силы по направлению одного из стержней усилие в этом стержне равно внешней силе (с учетом знака), усилие в другом стержне равно нулю.

3. Трехстержневой незагруженный узел (рис. 7.3, в), в котором оси двух подходящих к нему стержней лежат на одной прямой, а третий стержень — отходящий.

Следовательно, усилия в стержнях, лежащих на одной прямой, равны, а усилие в отходящем стержне равно нулю.

4. Трехстержневой загруженный узел (рис. 7.3, г), в котором оси двух подходящих к нему стержней лежат на одной прямой, третий стержень — отходящий, а внешняя нагрузка действует по оси последнего.

Следовательно, усилия в стержнях, лежащих на одной прямой, равны, а усилие в отходящем стержне равно внешней силе (с учетом знака).

5. Четырехстержневой незагруженный узел (рис. 7.3, д), в котором стержни попарно направлены по одной прямой.

Недостатками способа вырезания узлов являются его трудоемкость и невозможность определения усилий в последующих стержнях без определения усилий в предыдущих.

Способ сечений. Данный способ основан на применении общего метода сечений для расчета любых расчетных схем. Способ сечений позволяет определить усилия во многих стержнях фермы, независимо от того, известны ли усилия в других стержнях.

Для любой отсеченной части фермы можно составить три уравнения равновесия, что накладывает следующее условие применения способа сечений: проведенное сечение {рассеченная панель) должно содержать не более трех неизвестных усилий.

Перечислим условия выбора уравнения равновесия для отсеченной части фермы.

  • 1. Если стержни рассеченной панели не параллельны и не пересекаются в одной точке, используются уравнения (2.20), в которых моментными точками являются точки пересечения осей стержней. В этом случае имеем три моментные точки.
  • 2. Если два из трех стержней рассеченной панели параллельны, а третий имеет точки пересечения оси с первыми двумя стержнями (узлы фермы), используются уравнения (2.19), содержащие две моментные точки и ось, перпендикулярную параллельным стержням.

Рассмотрим использование уравнений равновесия (2.20) на примере балочной фермы с полигональным верхним поясом и треугольной решеткой, изображенной на рис. 7.4, а. Предположим, что опорные реакции фермы определены, и необходимо определить усилия в стержнях второй панели по нижнему поясу и третьей по верхнему поясу, включая восходящий раскос.

Сечение I—I (равновесие правой части)

Рис. 7.4

Для этого проведем сечение I—I (рис. 7.4, б) и рассмотрим равновесие правой, наиболее удобной, части фермы (рис. 7.4, в).

Моментными точками будут являться:

  • — узел 2 (точка пересечения осей стержней 1—2 и 2—4);
  • — узел 4 (точка пересечения осей стержней 4—5 и 2—4);
  • — точка k (точка пересечения осей стержней 4—5 и 1—2).

Относительно этих моментных точек и составим уравнения равновесия

для отсеченной части фермы, предварительно вычислив плечи до усилий в стержнях.

Теперь рассмотрим использование уравнений равновесия (2.19) на примере балочной фермы с параллельными поясами и простой раскосной решеткой, изображенной на рис. 7.5, а. Предположим, что опорные реакции фермы определены, и необходимо определить усилия в стержнях второй панели слева, включая нисходящий раскос.

Для этого проведем сечение I—I (рис. 7.5, б) и рассмотрим равновесие левой, наиболее удобной, части фермы (рис. 7.5, в).

Сечение I—I (равновесие левой части)

в

Рис. 7.5

Поскольку стержни 5—6 и 1—2 параллельны (для них моментная точка находится в бесконечности), то для составления уравнений равновесия необходимо иметь две моменгные точки:

  • — узел 5, точка пересечения осей стержней 5—6 и 2—5;
  • — узел 2, точка пересечения осей стержней 2—5 и 1—2.

Третьим уравнением равновесия будет XT = 0 (сумма проекций на вертикальную ось, перпендикулярную стержням 5—6 и 1—2).

Составим уравнения равновесия для отсеченной части фермы, предварительно вычислив плечи до усилий в стержнях (hi2 = h5G = h).

Рассмотрим несколько примеров определения усилий в стержнях плоских ферм.

Пример 7.1

Требуется определить усилия во всех стержнях фермы (рис. 7.6, а) способом вырезания узлов. Все раскосы фермы имеют наклон, равный углу а к горизонтали (cos а = 0,8; sin а = 0,6).

Рис. 7.6

Решение. 1. Проверим геометрическую неизменяемость фермы. Число узлов У = 8, число стержней фермы Сф = 13, число опорных связей COII = 3. Условие (7.1) выполняется, так как 2-8=13 + 3. Ферма прикреплена к основанию тремя непараллельными и не сходящимися в одной точке связями и имеет простую раскосную решетку. Поэтому условие геометрической неизменяемости (7.1) является достаточным.

2. Определим опорные реакции, для чего удалим опорные связи (рис. 7.6, б) и заменим их действие реакциями.

Из уравнений равновесия определим значения реакций:

  • = 0; А + 4 + 4 + 4 = 0, НА = 12 кН.
  • л = 0; 4 • 3 + 4 • 6 + 4 • 9 - RB • 4 = 0. RB = 18 кН.
  • 5>/в = 0; 4 • 3 + 4 • 6 + 4 • 9 + VA ? 4 = 0, VA = -18 кН.

Действительные значения опорных реакций показаны на рис. 7.6, в.

3. Определим усилия в стержнях фермы на основании частных случаев равновесия узлов (по рис. 7.3).

Нулевые стержни фермы: 2—3, 2—5 и Л—В (отмечены пунктиром на рис. 7.6, в). На основании рис. 7.3, виг для трех стержней можно записать N34 = -4 кН, iV16 = -4 кН, NB6 = -18 кН (см. рис. 7.6, в).

4. Определим усилия в остальных стержнях фермы.

Узлы рассматриваем в порядке, при котором каждый последующий узел содержит не более двух неизвестных усилий.

Узел 4 (рис. 7.6, г).

YjX = 0; 4 - N24 • cosa = 0, N24 = 4 кН.

ZjY = 0; -N24 • sina - N45 • cosa = 0, N45 = -3 кН.

На основании частного случая равновесия (см. рис. 7.3, в) для узла 6: JV56 = N45 = -3 кН. Узел 2 (рис. 7.6, д).

ZX = 0; 4 + 5 • cosa + ЛГ26 • cosa = 0, N26 = -10 кН.

YjY = 0; 5 • sina - ЛГ26 • sina - iV12 = 0, N{2 = 9 кН.

На основании частного случая равновесия (см. рис. 7.3, г) для узла 1: ЛГЛ1 = Х12 = 9 кН. Узел Л (рис. 7.6, в).

Хх= 0; -12 + NA6 cos a = 0, NM= 15 кН.

Проверка:

Sr=0;9- 18 - JV/16 • sina = 9 - 18+ 15-0,6 = 0.

Эпюра продольных сил, построенная по найденным значениям усилий, показана на рис. 7.6, ж.

Условия равновесия узла 6, не рассмотренного при определении усилий в стержнях, можно использовать для проверки (рис. 7.6, з):

Хх = 0; 10 • cosa - 15 • cosa + 4 = 10 • 0,8 - 15 • 0,8 + 4 = 0.

Xf = 0; -3 - 10 • sina - 15 • sina + 18 = -3 - 10 • 0,6 - 15 • 0,6 + 18 = 0.

Пример 7.2

Требуется определить усилия во всех стержнях фермы (рис. 7.7, а), используя способы сечений и вырезания узлов.

Рис. 7.7

Ферма имеет ломаное очертание верхнего пояса: в первых двух панелях пояса параллельны; в третьей панели верхний пояс имеет наклон в 45°; в четвертой и пятой панелях наклон верхнего пояса определяется углом а.

Параметры угла а можно определить из треугольника 4—10—k (см. рис. 7.7, б):

cos а = , = 0,8944; sina = . = 0,4472.

л/42 + 82 V 42+82

Наклон всех раскосов — 45°, кроме раскоса в четвертой слева панели, наклон которого определяется углом р.

Параметры угла р можно определить из треугольника 3—9—В (см. рис. 7.7, б):

cosP = -г=1—=? = 0,5547; sinB = —=• = 0,8320.

V42+62 V 42+62

Решение. 1. Проверим геометрическую неизменяемость фермы. Число узлов У = = 12, число стержней фермы Сф = 21, число опорных связей Соп = 3. Условие (7.1) выполняется, так как 2 • 12 = 21 +3. Ферма прикреплена к основанию тремя непараллельными и не сходящимися в одной точке связями и имеет простую раскосную решетку. Поэтому условие геометрической неизменяемости (7.1) является достаточным.

2. Определим опорные реакции, для чего удалим опорные связи (см. рис. 7.7, б) и заменим их действие реакциями.

Из уравнений равновесия определим значения реакций:

Хх = 0; -IIА + 16= 0, IIА = 16 кН.

  • А = 0; 16-4+ 16- 12+ 16-20 - RB- 16 = 0, RB = 36 кП.
  • В = 0; 16 ? 4 - 16 • 4 + 16 ? 4 + VA • 16 = 0, VA = -4 кН.
  • 3. Определим усилия в стержнях фермы на основании частных случаев равновесия узлов (см. рис. 7.3).

Нулевые стержни фермы: Л— 5, 2—7 и В—4 (отмечены пунктиром на рис. 7.7, в).

На основании рис. 7.3, бив для двух стержней можно записать:

JV56 = -16 кН, iV410 = 16 кН (см. рис. 1.1} в).

4. Определим усилия в остальных стержнях фермы, для чего проведем пять сечений и рассмотрим равновесие трех узлов (см. рис. 7.7, в).

Узел Л (рис. 7.8, а).

X У = 0; -4 + Na6 • sin 45° = 0, NA6 = 5,66 кН.

X X = 0; -16 + Na6 • cos45° + NM = 0, NM = 12 кН.

Сечение I—I (рис. 7.8, б): рассмотрим равновесие левой отсеченной части фермы.

Для стержня 6—7 моментной точкой является узел 1> для стержня 1—6 момент- ная точка находится в бесконечности.

XMj= 0; 16-4 + N67 -4-4-4 = 0, ЛГ67=-12кН.

1Y = 0; -4 - ЛГ = 0, N16 =-4 кН.

Сечение II—II (рис. 7.8, в, равновесие левой отсеченной части фермы).

Для стержня 1—2 моментной точкой является узел 6, для стержня 1—7 момент- ная точка находится в бесконечности.

X М6 = 0; 16-4-ЛГ12 -4-4-8 = 0, Лг12=8кН.

ХУ = 0; -4 + ЛГ17-sin45° = 0, Лг17 =5,66 кН.

Сечение III—III (рис. 7.8, г, равновесие левой отсеченной части фермы).

Для стержня 3—7 моментной точкой является узел 1 (плечо й37 = 5,66 м), для стержня 7—8 моментной точкой является узел 3 (плечо h7H= 5,66 м), для стержня 2—3 моментной точкой является узел 7 (плечо h23 = 4,0 м).

X Mj = 0; 16 • 4 - N31h37 - 4 • 4 = 0, N37 = -8,48 кН.

XM3= 0; 16-4-N78- /z78- 4-12 = 0, N78=-2,83 кН.

ХМ7=0; 16-4-ЛГ23 - 4-4-8 = 0, Х12 = 8к11.

Рис. 7.8

Сечение IV—IV (рис. 7.8, Э, равновесие правой отсеченной части фермы).

Для стержня 3—9 моментной точкой является точка k пересечения осей стержней верхнего и нижнего поясов, находящаяся за пределами схемы фермы на расстоянии b = 8,0 м от узла 4 (плечо *39 = 16 • sinp = 13,313 м), для стержня 8—9 моментной точкой является узел 3 (плечо /г89 = 8 • cosa = 7,155 м), для стержня 3—8 моментной точкой является узел 9 (плечо h3B = 6,0 м).

I Мк = 0; 36 • 12 - ЛГ39 • йз9 -16 • 8 = 0, N39 = 22,84 кН.

3 = 0; -36 • 4 - JV89 • /г89 +16 • 8 = 0, JV89 = -2,24 кЫ.

9 = 0; 16-4 + Л^8-б= 0, NB8 =-10,67 кН.

Сечение V—V (рис. 7.8, е} равновесие правой отсеченной части фермы).

Для стержня В—9 моментной точкой является уже известная точка k (плечо hB9 = = b = 8,0 м), для стержня 9—10 моментной точкой является узел В (плечо *9 10 = 12 х х sin a = 5,366 м).

lMk= 0; 36• 12 + NB0hB9 -16• 8 = 0, NB0 = -25,33 кН.

1MB= 0; 16 ? 4 - iV9 10 • *9 10 = 0, ЛГ9 10 = 11,42 кН.

Узел В (рис. 7.8, ж).

EX = 0; 10,67 + NBl0 • cos 45° = 0, Л^10 = -15,08 кН.

Узел 8 (рис. 7.8, з).

?у = 0; -ЛГ38 - 16 + 2,83 • sin 45° + 2,24 • sin а = 0, Nx = -13 кН.

Эпюра продольных сил, построенная по найденным значениям усилий, показана на рис. 7.8, и.

Пример 7.3

Рис. 7.9

Решение. 1. Проверим геометрическую неизменяемость фермы. Число узлов У = 9, число стержней фермы Сф = 14, число опорных связей Соп = 4. Условие (7.1) выполняется, так как 2 • 9 = 14 + 4. Левая и правая части фермы образованы последовательным присоединением узлов по способу «триады», поэтому представляют собой геометрически неизменяемые диски АС и СВ. Присоединение этих дисков к основанию является неизменяемым (см. подпараграф 1.5.1, рис. 1.18, а).

  • 2. Определим опорные реакции, для чего удалим опорные связи (рис. 7.9, б) и заменим их действие реакциями. Поскольку по условию задачи необходимо определить усилия в стержнях лишь правой части фермы, достаточно определить реакции в опоре В.
  • Л= 0; 16-2 + 32-6 + 16-20-Vg-8 = 0, Ув = 28кН.
  • ?Л/?1РАВ =0; 32-2+Яв-4-Ув-4 = 0, Яв = 12кН.

Реакции в шарнире С определим из условий равновесия правой части фермы:

Хх = 0и1У=0(рис. 7.9, в).

3. Определим усилия в стержнях.

Для определения усилий в стержнях правой части фермы (см. рис. 7.9, в) проведем два сквозных сечения и рассмотрим равновесие двух узлов.

Сечение I—I (рис. 7.9, г, равновесие верхней отсеченной части).

Для стержня 3—2 моментной точкой является узел 1 (плечо h32 = 2-sin45° = л/2 м), для стержня С— 1 моментной точкой является узел 3 (плечо hC{ = h:i2 = V2 м), момент- ная точка для стержня 1—3 находится в бесконечности, так как стержни С—1 и 3—2 параллельны. Для определения усилия в стержне 1—3 ось п принята перпендикулярной стержням С— 1 и 3—2.

ЕМ,= 0; 12-2 + JV32? /г32 + 4? 2 = 0, N32 = -16V2 кН.

3 = 0; 4-2-NCI hci =0, Nc{= 4^2 idI.

Sn= 0; (4 - 32-Я)3)-cos 45°+ 12-sin 45° = 0, Я13=-16кН.

Сечение И—II (рис. 7.9, д, равновесие нижней отсеченной части).

Для стержня 1—В моментной точкой является узел 2 (плечоhBl = 2-sin 45” = 42 м), моментная точка для стержня 1—2 находится в бесконечности, так как стержни 1—В и 3—2 параллельны.

2 = 0; 12-2 + NB1 -hm =0, Л'=-12>/2 кН.

Ел = 0; -(12 + (V12)-sin45° + 28-cos45° = 0, A''12 = 16kH.

Узел С (рис. 7.9, е).

1X = 0; 12 + NC3 + 4л/2 • cos45° = 0, NC3 = -1 б кН.

Узел В (рис. 7.9, ж).

?F = 0; 28-12%/^-ып45° + ЛГВ2 = 0, ;VB2 = -16 кН.

Эпюра продольных сил N в стержнях правой части фермы, построенная по найденным значениям усилий, показана на рис. 7.9, з.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>