Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Определение усилий в стержнях пространственных ферм

В пространственных фермах число опорных связей, как правило, больше шести, и опорные реакции нельзя определить из условий равновесия всей расчетной схемы. Поэтому в пространственных фермах сначала определяют усилия в стержнях и только после этого — опорные реакции, рассматривая равновесие опорных узлов.

Усилия в стержнях пространственных ферм обычно находят при помощи способов вырезания узлов или разложения пространственной фермы на плоские.

Способ вырезания узлов. Сущность способа та же, что и при расчете плоских ферм: рассматриваются условия равновесия (2.36) вырезанных узлов фермы как для пространственной системы сходящихся сил, состоящей из узловой внешней нагрузки и усилий в примыкающих стержнях.

Расчет начинают с рассмотрения узла, в котором сходятся не более трех стержней с неизвестными усилиями при условии, что оси этих стержней не лежат в одной плоскости. Далее последовательность рассмотрения узлов определяется только что сформулированными условиями.

Так же как и при расчете плоских ферм, можно выделить частные случаи равновесия узлов и для пространственных ферм.

1. Трехстержневой ненагруженный узел (рис. 7.10, а), оси сходящихся стержней не лежат в одной плоскости.

Рис. 7.10

Так как все стержни пересекаются в одной точке, два из них всегда находятся в одной плоскости. Предположим, что в плоскости Я лежат стержни 2 и 3. Из центра узла проводим ось пу перпендикулярную плоскости Я, и проецируем на нее все силы, сходящиеся в узле:

X п = 0; Nxcos а = 0, cos а Ф 0, Nx = 0.

Аналогично доказывается N2 = 0 и iV3 = 0.

Таким образом, если в ненагруженном узле сходятся три стержня, оси которых не лежат в одной плоскости, то усилия в этих стержнях равны нулю.

2. Ненагруженный узел (рис. 7.10, б), оси всех сходящихся в нем стержней, кроме одного, лежат в одной плоскости.

Так как все стержни, кроме 7, лежат в плоскости Я, то доказательство равенства нулю усилия Nx аналогично предыдущему пункту.

Следовательно, если в ненагруженном узле оси всех стержней, кроме одного, лежат в одной плоскости, то усилие в единственном отходящем стержне равно нулю.

3. Ненагруженный узел (рис. 7.10, в), оси всех стержней, кроме двух, лежат в одной плоскости, а два упомянутых стержня направлены по одной прямой.

Предположим, что стержни 2, 3 и 4 лежат в плоскости Н, а стержни 1 и 5 направлены по одной прямой, которая составляет угол а с нормалью п к плоскости Я. Спроецировав на ось п все сходящиеся в узле силы, получим

Следовательно, если в ненагруженном узле оси двух стержней, не лежащих в одной плоскости с остальными стержнями, находятся на одной прямой, то усилия в этих стержнях одинаковы.

4. Загруженный узел (рис. 7.10, г), внешняя сила направлена по оси одного из стержней, сходящихся в узле, причем все стержни, кроме указанного, лежат в одной плоскости.

Проведя доказательство, аналогичное п. 3, легко показать, что Лг4 = -F.

Возможность определения усилий во всех стержнях фермы способом вырезания узлов зависит от структуры фермы. Основной недостаток этого способа, кроме трудоемкости, состоит в том, что каждое последующее усилие выражается через ранее определенные из равновесия предыдущих узлов, что может привести к накоплению погрешности результатов расчета.

Способ разложения пространственных ферм на плоские. Данный способ применяется в тех случаях, когда выделяемые из пространственной плоские фермы остаются геометрически неизменяемыми.

Внешняя нагрузка, приложенная к узлам, раскладывается на составляющие, лежащие в плоскостях граней пространственной фермы. Используя частные случаи равновесия узлов, можно определить нулевые стержни и стержни с заведомо известными усилиями, что позволит выявить плоские фермы.

Для стержней, входящих в состав одной плоской фермы, найденные усилия будут окончательными. Если же стержень расположен на ребре пространственной фермы (т.е. одновременно входит в состав двух плоских ферм), го результирующее усилие в нем будет равно алгебраической сумме усилий, полученных при расчете каждой из двух плоских ферм.

Применение данного способа покажем на примере пространственной фермы, изображенной на рис. 7.11, а.

Приложенную к узлу 1 внешнюю силу F по правилу параллелепипеда разложим на три составляющие: F{ по направлению 1—9, Р2 по направлению 1—4 и F3 — по направлению 1—2.

Исключим нулевые стержни. В ненагруженном узле 2 три стержня (2—3, 2—7 и 2—6) лежат в одной плоскости. Стержень 2—1 по отношению к этой плоскости является отходящим, следовательно, усилие в нем равно нулю. Далее рассмотрим узлы 3 и 4 и, рассуждая аналогичным образом, докажем, что усилия в стержнях 3—2 и 3—4 также равны нулю. После исключения нулевых стержней узлы 2 и 3 представляют собой двухстержневые нена- груженные узлы. На основании частных случаев равновесия узлов плоских ферм докажем, что усилия в стержнях 2—6, 2—7, 3—7 и 3—8 равны нулю. Отбрасывая вновь определенные нулевые стержни и рассматривая равновесие узлов 7, 6 и 8, установим, что нулевыми будут также стержни 7—6, 6—11, 8—7, 7—11 и 7—12. На рис. 7.11, б все нулевые стержни обозначены пунктирными линиями.

Рис. 7.11

Таким образом, в пространственной ферме при заданной нагрузке F оказались работающими лишь две плоские фермы, лежащие в плоскостях 1—4—12—9 и 1—2—10—9 (рис. 7.11, в и г). Усилия в этих фермах определяются любым известным способом. Составляющая внешней нагрузки F{ может быть отнесена к любой из полученных плоских ферм. Так как стержни 1—5 и 5—9 являются общими для обеих ферм, полные усилия в них определяются алгебраическим суммированием результатов усилий, найденных для каждой фермы в отдельности.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>