Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Понятие о радиусе инерции и моменте сопротивления сечения

Радиусом инерции сечения относительно какой-либо оси называют величину определяемую из равенства / = Аг2.

Иными словами, радиус инерции сечения есть его геометрическая характеристика, представляющая собой такое расстояние от оси до некоторой точки поперечного сечения, при котором произведение площади сечения на квадрат этого расстояния равно осевому моменту инерции.

На основании этого определения для плоского сечения можем записать для осевых радиусов инерции:

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются главными радиусами инерции:

Радиусы инерции измеряются в метрах или сантиметрах (м или см).

Рис. 8.3

Моментом сопротивления сечения относительно какой-либо оси называется отношение осевого момента инерции относительно этой оси до наиболее удаленной точки сечения (рис. 8.3).

Геометрические характеристики для некоторых типов плоских фигур приведены в прил. 5, а для сечений стальных прокатных профилей - в прил. 6—9.

Рассмотрим несколько примеров определения геометрических характеристик плоских сечений.

Пример 8.1

Требуется определить геометрические характеристики прямоугольного сечения с круглым отверстием (рис. 8.4, а).

Рис. 8.4

Решение. Сечение имеет вертикальную ось симметрии. Поэтому положение одной из главных центральных осей (оси у) известно. Центр тяжести сечения располагается на этой оси, и для определения его положения достаточно определить только одну координату.

Заданное сечение разделяем на две фигуры: прямоугольник (фигура 1) размером 24 х 48 см и круг (фигура 2) диаметром 20 см (см. рис. 8.4, а).

Найдем геометрические характеристики выбранных фигур относительно собственных центральных осей.

1. Площади сечения:

Л, = 24 -48 = 1152 см2.

А2 = -п ? 102 = -314,6 см2 (знак «минус» показывает, что площадь фигуры описывает отверстие в сечении).

А = А, + А2 = 1152 - 314,6 = 837,4 см2.

  • 2. Осевые моменты инерции (см. прил. 5) фигур 1 и 2 относительно собственных центральных осей:
  • 12{ =24-483 /12 = 221 184 см4,
  • 1у[ =48-243/12 = 55 296 см4;

IZ2 = 1у2 = я • 104 / 4 = 7865 см4.

3. Положение центра тяжести сечения относительно вспомогательной оси и при координатах центров тяжести фигур 1 и 2 ot = 24 см, о2 = 36 см (рис. 8.4, 6) определим согласно формулам (8.2):

ис= (1152 • 24 - 314,6 • 36)/ 837,4 = 19,49 см.

Положение центральных осей сечения показано на рис. 8.4, в.

Положение центров тяжести фигур 1 и 2 в полученной собственной системе координат для всего сечения:

ал = 0; Ьх = 24 - 19,49 = 4,51 см; а2 = 0; Ь2 = 36 - 19,49 = 16,51 см.

  • 4. Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10):
  • 12 = (221 184 + 4,512 • 1152) - (7865 + 16,512 • 314,6) = 155 997 см4;
  • 1у = 55 296 - 7865 = 47 431 см4;
  • 1- 0, так как ось у — главная ось инерции;

/р= 155 667 + 47 421 = 203 428 см4.

  • 5. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):
  • 1155 997 ,оп . /47 431 , ео
  • 2 V 837,4 ' у V 837,4
  • 6. Моменты сопротивления сечения при zmax =12 см и г/тах = 28,51 см (см. рис. 8.4, в) определим по формулам (8.24):

U/ =155 997/28,51 = 5471,6 см3;

Wy =47 421/12 = 3952,6 см3.

Пример 8.2

Требуется определить геометрические характеристики швеллера, составленного из прямоугольных элементов (рис. 8.5, а).

Решение. Сечение имеет горизонтальную ось симметрии. Поэтому положение одной из главных центральных осей (оси z) известно. Центр тяжести сечения располагается на этой оси, и для определения его положения достаточно определить только одну координату.

Заданное сечение представим в виде двух фигур: прямоугольника 1 размером 18 х 36 см и прямоугольника 2 размером 12 х 24 см (рис. 8.5, б). Центры тяжести этих фигур располагаются на пересечении диагоналей.

Определим геометрические характеристики выбранных фигур относительно собственных центральных осей.

1. Площади сечения.

Л, = 18 • 36 = 648 см2.

Л2 = -12 • 24 = -288 см2 (знак «минус» показывает, что площадь фигуры описывает отсутствие материала сечения).

Л, = Л, + Л2 = 848 - 288 = 360 см2.

2. Осевые моменты инерции (см. прил. 5) фигур относительно собственных центральных осей:

I2[ = 18-363/12 = 69 984 см4}1у{ = 36 • 183 /12 = 17 496 см4;

  • 1Ч = 12 • 243 /12 = 13 824 см4,1у2 = 24 • 123 /12 = 3456 см4.
  • 3. Положение центра тяжести сечения относительно вспомогательной оси и при координатах центров тяжести фигур 1 и 2 соответственно = 9 см, и2 = 12 см (см. рис. 8.5, б) определим согласно формулам (8.3):

wc= (648-9-288 12)/360 = 6,6 см.

Положение центральных осей сечения показано на рис. 8.5, в.

Положение центров тяжести фигур 1 и 2 в полученной собственной системе координат для всего сечения:

а=щ-ис= 9-6,6 =2,4см; Ь{= 0; а2 = и2 ~ис = 12-6,6 = 5,4 см; Ь2 = 0.

  • 4. Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10):
  • 12= 69 984 - 13 824 = 56 160 см4;
  • 1у= (17 496 + 2,42-648) - (3456 + 5,42 • 288) = 9374 см4;
  • 1= 0, так как ось z — главная ось инерции;

/р= 56 160 + 9374 = 65 534 см4.

5. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):

. 156 160 .0 /о . /9374 ^

  • 2 М 360 ^ V 360
  • 6. Моменты сопротивления сечения при zmax = 11,4 см и г/тах = 18 см (см. рис. 8.5, в) определим по формулам (8.24):

W2 = 56 160 / 18 = 3120 см3; уу = 9374 / 11,4 = 822,3 см3.

Рис. 85

Требуется определить геометрические характеристики сечения, составленного из прямоугольных элементов (рис. 8.6, а).

Решение. Сечение не имеет осей симметрии. Представим его в виде трех фигур: прямоугольника 1 размером 15x6 см, прямоугольника 2 размером 6x15 см и прямоугольника 3 размером 24 х 6 см. Центры тяжести этих фигур располагаются на пересечении диагоналей (рис. 8.6, 6).

Рис. 8.6

Определим геометрические характеристики выбранных фигур относительно собственных центральных осей.

1. Площадь сечения.

Л{ = 6 • 15 = 90 см2; Л2 = 15 • 6 = 90 см2; Л3 = 21 • 6 = 126 см2.

А{= Ах + А2 + Дз = 90 + 90 + 126 = 306 см2.

  • 2. Осевые моменты инерции (см. прил. 5) фигур 1—3 относительно собственных центральных осей:
  • 12[ = 15-63/12 = 270 см4, 1у[ = 6-153 /12 = 1687,5 см4;

/ = 6 • 153/12 = 1687,5 см4, Il/2 = 15 • 63 /12 = 270 см4;

  • 1 =21-63 /12 = 378 см4, 1уз = 6-213 /12 = 4630,5 см4.
  • 3. Положение центра тяжести сечения относительно вспомогательных осей who при координатах центров тяжести фигур 1—3 (см. рис. 8.6, 6) соответственно и{ = 4,5 см, ut = 10,5 см; и2 = 0, и2 = 0; щ = 7,5 см, и3 = -10,5 см определим по формулам (8.3):

ис = (90 -4,5 + 126-7,5) / 308 = 4,41 см.

ос = (90 • 10,5 -126 • 10,5) / 308 = -1,23 см.

Примечание. Оси и и и проведены через центр тяжести фигуры 2, что дает упрощения при использовании формул (8,3).

Положение центральных осей сечения показано на рис. 8.6, в.

Положение центров тяжести фигур 1—3 в полученной собственной системе координат для всего сечения:

ахх- ис = 4,5 - 4,41 = 0,09 см, by = - и с= 10,5 - (-1,23) = 11,73 см;

а2 = и2~ ис = -4,41 см, Ь'2 = и 2 ” u с= 1*23 см;

аъ = иу - ис = 7,5 - 4,41 = 3,09 см,

Ъъ - и з - о с= -10,5 - (-1,23) = -9,27 см.

  • 4. Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10):
  • 12 = (270 +11,732 • 90) + (1687,5 +1,232 • 90) + (378 + 9,272 -126) = 25 682,57 см4; 1у=(1687,5 + 0,092 • 90)+(270+4,412 • 90)+(4630,5 + 3,092 • 126) = 9633,12 см4; 1 = 90• 0,09• 11,73 + 90-(-4,41)-1,23 + 126 • 3,09 (-9,27) = -4002,36 см4;

/р = 25 682,57 + 9633,12 = 35 315,69 см4.

5. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):

. 25 682,57 . 9633,12

г, = J-=9,16 см; г.. = J-=5,61 см.

  • 2 V 306 у V 306
  • 6. Моменты сопротивления сечения при zmax = 13,59 см и г/тах = 14,73 см (рис 8.6, г) определим но формулам (8.24):

Wz = 25682,57/14,73 = 1743,55 см3;

Wy = 9633,12/13,59 = 708,84 см3.

  • 7. Угол наклона главных центральных осей согласно (8.18): tg20 = -2 (-4002,36) / (25 682,57 - 9633,12) = 0,4986;
  • 20 = 26°30', 0 = 13° 15'.

Угол 0 при выбранном направлении осей z и у откладываем против часовой стрелки от оси г (см. рис. 8.6, г).

8. Главные моменты инерции сечения согласно (8.19): /, = 0,5(25 682,57 + 9633,12) + 0,5^(25 682,57 - 9633,12)2 + 4 -4002,362 =

= 26 625,29 см4 = /тах,

/2 =0,5(25 682,57 + 9633,12) - 0,5^(25 682,57 - 9633,12)2 + 4 -4002,362 =

= 8690,4 см4 = 7min.

Таким образом, направление главной центральной оси /, относительно которой момент инерции равен 1{ = /тах, определяется углом 0 = 13° 15'.

9. Главные радиусы инерции определим по формулам (8.23):

. 126 625,29 q qq 18690,4 е 00

I = J-= 9,33 см; ц = J-= 5,33 см.

1 V зов 2 V зоб

Пример 8.4

Требуется определить геометрические характеристики сечения, составленного из двух швеллеров № 24 /ГОСТ 8240—97 (см. рис. 8.7 и прил. 7).

Решение. Сечение симметричное, поэтому положение главных центральных осей и z) известно. Центр тяжести сечения располагается на пересечении осей у и z.

Геометрические характеристики для одного швеллера согласно ГОСТ 8240—97 имеют следующие значения:

А | = 30,6 см2,1г = 2900 см4,1у{ = 208 см4, z{) = 2,42 см.

Рис. 8.7

Определим геометрические характеристики выбранных фигур относительно центральных осей сечения.

  • 1. Площадь сечения А = 2А{ = 61,2 см[1] [2] [3].
  • 2. Положение центров тяжести швеллеров в собственной системе координат для всего сечения: а = 13 - 2,42 = 10,58 см.
  • 3. Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10):
  • 1г = 212 = 5800 см[4],1у = 2 • (208 + 10,58[3] • 30,6) = 7266,5 см[4]; 1 = 0.
  • 4. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):

/5800 17266,5

iz = |-= 9,/4 см; г.. =-— = 10,89 см.

  • 2 V 61,2 у V 61,2
  • 5. Моменты сопротивления сечения согласно формул (8.24):

Wz = 2VZ = 2•242 = 484 см{{ Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10): Iz=I!/=A. (747,48 + 15,85[3] • 34,89) = 38 050,5 см[4]; 1гу= 0, так как оси у и z — главные оси инерции;}}; Wy = 7266,5/13 = 558,96 см{{ Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10): Iz=I!/=A. (747,48 + 15,85[3] • 34,89) = 38 050,5 см[4]; 1гу= 0, так как оси у и z — главные оси инерции;}}.

Рис. 8.8

  • 4. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):
    • • • /38050,5 4СО/
    • - К =л-= 15,84 см.
  • 2 у V 151,56
  • 5. Моменты сопротивления сечения согласно формулам (8.24) W2 =Wf/ = 38 050,5 / 20 = 1902,5 см3.

  • [1] Пример 8.5 Требуется определить геометрические характеристики квадратного сечения(рис. 8.8), составленного из четырех равнополочных уголков № 150 х 150 х 12 /ГОСТ 8509-93 (см. прил. 9). Решение. Сечение симметричное, поэтому положение главных центральных осей(у и z) известно. Центр тяжести сечения располагается на пересечении осей у и z. Геометрические характеристики для одного уголка согласно ГОСТ 8509—93имеют следующие значения: А{ =34,89 см3,12[ = 1у[ =747,48 см4, z0 =4,15 см. Определим геометрические характеристики выбранных фигур относительно центральных осей сечения.
  • [2] Площадь сечения А = 4/Ц = 151,56 см3.
  • [3] Положение центра тяжести уголков относительно центральных осей сечения: а = b = 0,5 • 40 - 4,15 = 15,85 см.
  • [4] /р = 2/г = 76 101 см4.
  • [5] Положение центра тяжести уголков относительно центральных осей сечения: а = b = 0,5 • 40 - 4,15 = 15,85 см.
  • [6] /р = 2/г = 76 101 см4.
  • [7] Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10): Iz=I!/=A. (747,48 + 15,85{{ Положение центра тяжести уголков относительно центральных осей сечения: а = b = 0,5 • 40 - 4,15 = 15,85 см.
  • [8] /р = 2/г = 76 101 см4.
  • [9] Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10): Iz=I!/=A. (747,48 + 15,85{{ Положение центра тяжести уголков относительно центральных осей сечения: а = b = 0,5 • 40 - 4,15 = 15,85 см.
  • [10] /р = 2/г = 76 101 см4.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>