Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Определение усилий. Дифференциальные зависимости между М, Q и q

В случае действия плоской системы сил рассматриваются (см. рис. 4.6) только три внутренние силы: М, Q и N. В случае же плоского поперечного изгиба продольная сила N = 0, т.е. основными действующими усилиями являются изгибающий момент М и поперечная сила Q (рис. 10.3).

Рис. 103

Для горизонтально ориентированного стержня используются следующие правила знаков для поперечной силы и изгибающего момента:

  • • поперечную силу считать положительной, если она направлена гак, что стремится повернуть элемент стержня по часовой стрелке (или, что то же самое, действует по отношению к рассматриваемому сечению по часовой стрелке, рис. 10.4, а);
  • • изгибающий момент считать положительным, если он изгибает элемент стержня выпуклостью вниз, вызывая растяжение нижних волокон (рис. 10.4, б).

На основании принципов определения внутренних сил, сформулированных в подпараграфе 4.2.1, можно записать следующие правила определения изгибающего момента и поперечной силы в произвольном сечении стержня:

  • — изгибающий момент М в любом сечении стержня численно определяется как алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на стержень но одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно центра тяжести этого сечения;
  • - поперечная сила Q в любом сечении стержня численно определяется как сумма проекций всех сил, действующих на стержень но одну сторону от рассматриваемого сечения, на нормаль к оси стержня в этом сечении.

Рис. 10.4

Определение значений М и Q в произвольном сечении стержня производится с учетом принятого правила знаков (см. рис. 10.4).

Рассмотрим простую балку с внешней распределенной нагрузкой q(x), направленной вниз в направлении оси у. Такую нагрузку будем считать положительной (рис. 10.5, а). Выделим из балки в произвольном сечении бесконечно малый элемент длиной dr и рассмотрим равновесие этого элемента (рис. 10.5, в). На этот выделенный элемент будут действовать:

  • • слева М и Q, заменяющие действие отброшенной левой части балки;
  • • справа М + dМ и Q + dQ, заменяющие действие правой отброшенной части балки, при этом dM и dQ — приращения изгибающего момента и поперечной силы по длине элемента dr;
  • • нагрузка q(x), которая в силу малости длины элемента принимается равномерно распределенной.

Рис. 10.5

Составим для выделенного элемента два уравнения равновесия:

Из второго уравнения, пренебрегая членом q(x) ? 0,5dr2 как величиной второго порядка малости, получим

Зависимость (10.1) с учетом (10.2) может быть записана в виде

Рассмотрим простейшие случаи построения эпюрМ и Qb простой балке.

1. Балка загружена вертикальной силой F (рис. 10.6, а).

Опорные реакции в балке (рис. 10.6, б) определяются из уравнений равновесия:

Горизонтальная опорная реакция в точке Л равна нулю, так как вертикальные нагрузки на балку отсутствуют.

Как видно из рис. 10.6, б, необходимо рассмотреть два участка балки.

Участок 1 (0 < х < а).

Итак, на первом участке = const = Fb /1, а изгибающий момент изменяется по линейному закону:

  • — при х = 0 М, = 0;
  • — при х = а М] = Fab /1.

Участок 2 (а < х < I).

Итак, на втором участке ()?> = const = -Fa / /, а изгибающий момент изменяется по линейному закону:

  • — при х = а М2 = Fab / /;
  • — при х = / М2 = 0.

По вычисленным значениям строим эпюры Q и М для рассматриваемой балки (рис. 10.6, в).

При построении эпюр Q и М здесь и далее для горизонтально ориентированных стержней будем придерживаться следующих правил:

  • • положительные значения эпюры Qоткладывать от оси стержня вверх, отрицательные — вниз;
  • • эпюру М строить со стороны растянутых волокон. Тогда положи тельными по принятому правилу знаков (см. рис. 10.4,6) будут ординаты эпюры М, отложенные снизу от оси стержня, а отрицательными — отложенные сверху.

Для частного случая расположения силы F при а = Ь = 0,5/эпюры М и Q показаны на рис. 10.7.

Рис. 10.7

Рис. 10.6 Рис. 10.7

2. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 10.8, а).

Так как нагрузка на балку симметрична, то совершенно очевидно, что вертикальные опорные реакции в точках Л и В будут равны между собой, и каждая из них будет равна половине всей нагрузки: VA = RB = 0,5ql.

Характер нагрузки по всей длине балки не меняется, поэтому для вычисления поперечной силы и изгибающего момента будем иметь только один участок, т.е.

При х = О Q = VA - 0,5ql при х = / Q = VA = -0,5ql, причем эпюра должна быть прямолинейной.

Зависимость М от х параболическая. Эпюра М представляет собой квадратную параболу, которая может быть построена по точкам.

При х = 0 М = 0; при х = /М = 0; при х = 0,5Ш = Мтах = qP- / 8.

По вычисленным значениям строим эпюры Q М для рассматриваемой бачки (рис. 10.8, в).

3. Балка загружена сосредоточенной внешней парой М (рис. 10.9, а).

Рис. 10.8

Рис. 10.9

Поскольку при отсутствии горизонтальной нагрузки горизонтальная опорная реакция Нл = 0, вертикальные опорные реакции должны образовать реактивную пару сил с плечом /, уравновешивающую внешнюю пару М.

Тогда (рис. 10.9, 6) VA = -RB — M/l.

Как видно из рис. 10.9, 6, необходимо рассмотреть два участка балки.

Участок 1 (0 <х < а).

Итак, на первом участке Q{ = const = / /, а изгибающий момент изменяется но линейному закону:

  • — при х = О Мх = 0;
  • — при х = а Мх = -Мл / /.

Участок 2 (а < х < I).

Итак, на втором участке Q2 = const = / /, а изгибающий момент изменяется по линейному закону:

  • — при х = а М2 = Mb / /;
  • — при х = I М2 = 0.

По вычисленным значениям строим эпюры Q и М для рассматриваемой балки (рис. 10.9, в).

Аналогичным образом можно показать построение эпюр Q и М при загружении консольной балки сосредоточенной силой (рис. 10.10, а), равномерно распределенной нагрузкой (рис. 10.10, б) и сосредоточенной парой (рис. 10.10, в).

Рис. 10.10

На основании полученных дифференциальных зависимостей (10.1 — 10.3) и приведенных примеров можно сформулировать ряд положений, облегчающих построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил и служащих проверками правильности их построения.

  • 1. На участке, где отсутствует распределенная нагрузка (q = 0), поперечная сила постоянна, изгибающий момент изменяется по линейной зависимости, тангенс угла наклона а эпюры М равен поперечной силе Q (рис. 10.11). В принятой системе координат положительное значение угла а определяется поворотом по часовой стрелке от оси х в сторону положительного направления оси у.
  • 2. Если поперечная сила на участке равна нулю, эпюра М постоянна (чистый изгиб) (рис. 10.12).

Рис. 10.11

Рис. 10.12

3. На участке действия равномерно распределенной нагрузки (рис. 10.13) поперечная сила изменяется по линейному закону (тангенс угла наклона Р эпюры Q равен интенсивности нагрузки q), а изгибающий момент — по квадратичной зависимости, у которой выпуклость направлена в сторону действия нагрузки. При этом перепад ординат эпюры Q равен величине действующей на участке нагрузки, т.е. ql, а «подвеска» параболы соответствует балочной (см. рис. 10.8) эпюре изгибающих моментов.

Если на этом участке поперечная сила в одном из сечений равна нулю, то изгибающий момент в этом сечении принимает экстремальное значение Мжс (максимум или минимум) и касательная к эпюре М параллельна оси стержня.

  • 4. На участке действия распределенной нагрузки, изменяющейся по линейному закону (например, треугольной — рис. 10.14 и 10.15), поперечная сила изменяется по квадратичной зависимости, а изгибающий момент — по кубической. Выпуклость эпюры Q устанавливается в зависимости от характера изменения распределенной нагрузки по дифференциальной зависимости (10.1). Выпуклость эпюры М обращена в сторону действия распределенной нагрузки.
  • 5. В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная силаЕ(рис. 10.16), на эпюре Q будет скачок, равный значению этой силы и направленный в ту же сторону (при обходе участка стержня слева направо). Эпюра М в указанном сечении будет иметь перелом, направленный в сторону действия силы.
  • 6. В сечении, где приложена внешняя сосредоточенная пара (рис. 10.17), на эпюре М будет скачок, равный моменту пары, а угол наклона эпюры М слева и справа от места приложения пары — одинаков. При обходе стержня слева направо указанный скачок будет направлен сверху вниз, если внешняя пара действует по часовой стрелке, и снизу вверх при направлении пары против часовой стрелки. На эпюре Q изменений не будет.
Рис. 10.17

Рис. 10.16 Рис. 10.17

Приведенные положения позволяют строить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по участкам стержня без составления аналитических выражений для Q и М, непосредственно по их значениям в расчетных сечениях.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>