Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Идея метода перемещений. Система канонических уравнений и общая последовательность расчета

Для описания идеи метода рассмотрим простейшую расчетную схему — двухпролетную одноэтажную несвободную раму, т.е. раму, не имеющую линейных смещений узлов (рис. 14.4, а). Рама загружена произвольной нагрузкой и является дважды кинематически неопределимой.

Рис. 14.4

Предположим, что узлы А и В при деформации рамы под нагрузкой будут поворачиваться на какие-то углы Zx и Z2. Введем дополнительные угловые связи в узлы Ап В (рис. 14.4, б). Полученная схема является кинематически определимой и называется основной системой метода перемещений.

Для полученной основной системы воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим следующие воздействия: от принудительного поворота первой связи на угол Zt — состояние 1 (рис. 14.4, в); от принудительного поворота второй связи на угол Z2 — состояние 2 (рис. 14.4, г) и от действия внешней нагрузки — грузовое состояние (рис. 14.4, д).

Во всех перечисленных состояниях в связях, введенных в узлы А и В, появятся реакции, которые будем считать положительными, если их направление совпадает с направлением принудительного смещения связи. Сумма реакций по каждому из указанных направлений даст полные реакции во введенных дополнительных связях:

Чтобы основная система соответствовала по своим статическим свойствам заданной расчетной схеме, очевидно, необходимо выполнение условий Ra = 0; RB = 0, или

Для выражения реакций, входящих в формулы (14.3), воспользуемся зависимостью (12.20): Rn = rltZt; Rv2 = r12Z2; R2{ = r21Zt; &22 = rn^2• Подставив эти выражения в (14.3), получим

Запись (14.4) называется системой канонических уравнений метода перемещений.

Как и уравнения (14.3), система канонических уравнений метода перемещений имеет следующий статический смысл: сумма реакций в дополнительных связях от смещения этих связей и внешнего воздействия равна нулю.

Приведенный вывод системы канонических уравнений справедлив для любой расчетной схемы с любой степенью кинематической неопределимости. Поэтому если степень кинематической неопределимости пк = п, то система канонических уравнений будет иметь вид

В системе канонических уравнений (14.5) коэффициенты при неизвестных с одинаковыми индексами называются главными коэффициентами, они всегда положительны и > 0). Остальные коэффициенты называются побочными, и для них выполняется теорема о взаимности возможных реакций (rik = rki).

Размерности коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы канонических уравнений легко определяются на основании их статического смысла, сформулированного выше.

Так, для рамы, использованной при выводе системы канонических уравнений (см. рис. 14.4, а), неизвестными метода перемещений являются углы поворота (единица измерения — радиан, рад), реакциями в угловых связях (защемлениях) по направлению углов будут пары сил (единица измерения — килоньютон-метр, кН м). Следовательно, свободные члены системы уравнений, являющиеся реакциями от действующей нагрузки, будут измеряться в кН м, а все коэффициенты при неизвестных — в кН-м/рад.

Если основная система метода перемещений получена введением как угловых, гак и линейных дополнительных связей (рис. 14.5), то, рассуждая аналогично, получим нижеследующее.

В направлении первого неизвестного отрицается сумма реакций в угловой связи, которые имеют единицы измерения в кН м. Так как Z{ измеряется в рад, a Z2 — в м, то единицами измерения коэффициентов при неизвестных первого уравнения будут: для г{{ — кН м/рад, для г12 — кН, а для свободного члена RXF кНм.

Рис. 14.5

Аналогично, второе уравнение отрицает в направлении второго неизвестного сумму реакций, измеряемых в кН. Значит, для второго уравнения единицами измерения коэффициентов при неизвестных будут: для г21 — кН/рад, для г22 — кН/м, а для R2F — кН.

Коэффициенты при неизвестных и свободные члены системы канонических уравнений метода перемещений при расчете ортогональных рам определяются:

  • - реакции в угловых связях — из условия равновесия узла, в который введена дополнительная связь;
  • - реакции в линейных связях — способом сечений, которые проводятся параллельно оси связи через все стержни схемы, которые деформируются при принудительном смещении этой связи.

Последовательность расчета методом перемещений от действия внешней нагрузки.

  • 1. Определение степени кинематической неопределимости расчетной схемы
  • 2. Составление системы канонических уравнений в общем виде.
  • 3. Получение основной системы метода перемещений путем введения дополнительных связей по направлению возможных смещений узлов расчетной схемы.
  • 4. Получение деформированных схем и определение усилий в основной системе (построение эпюр Mf) от последовательного принудительного смещения дополнительных связей (/ = 1,..., п = пк) по нрил. 10.
  • 5. Определение усилий в основной системе (построение эпюры MF) с использованием таблицы реакций прил. 11.
  • 6. Определение коэффициентов при неизвестных rik и свободных членов RlF системы канонических уравнений.
  • 7. Запись системы канонических уравнений метода перемещений в численном виде и определение неизвестных Zi из ее решения.
  • 8. Определение усилий в заданной расчетной схеме на основании принципа независимости действия сил
  • 9. Первая статическая проверка расчета. Целью ее является проверка равновесия жестких узлов расчетной схемы по значениям изгибающих моментов, полученных по эпюре MF (14.6). При правильном расчете для каждого жесткого узла должно выполняться условие ХМузл = 0.

10. Деформационная проверка расчета. Для ее проведения выбирается любая основная статически определимая система, в которой от последовательного приложения единичных сил строятся эпюры Mf (при i = 1 -s- п = = пс) и их сумма Mf. При правильном расчете должны выполняться условия

11. Построение эпюры поперечных сил QF на основании дифференциальной зависимости Q = ^^- с использованием формул (13.11) и (13.12).

Ах

  • 12. Определение продольных сил в стержнях расчетной схемы из условия равновесия ее узлов и построение эпюры NF.
  • 13. Статические проверки расчета. При правильном расчете любая отсеченная часть расчетной схемы или вся схема, отсеченная от опор, под действием внутренних и внешних сил должна находиться в равновесии.

Как видно из вышеприведенного, п. 10—13 настоящей последовательности ничем не отличаются от п. 11 — 14 табл. 13.11 при расчете методом сил, т.е. независимо от метода расчета указанные пункты выполняются одинаково.

Рассмотрим несколько примеров расчета рам методом перемещений.

Пример 14.1

Требуется построить эпюры усилий в раме, изображенной на рис. 14.6, а. Относительные жесткости стержней рамы, приведенные к единому множителю:

  • — правой стойки ц=Е1 / 4 = /;
  • — левой стойки /2 = 1,5?7 / 4 = 1,5/;
  • — ригеля /3 = 2EI / 4 = 2/.

Решение. 1. Рама имеет один жесткий узел, и два се узла могут совместно перемещаться по горизонтали. Следовательно, степень кинематической неопределимости рамы пк = Пу + ял = 1 + 1 = 2.

2. Система канонических уравнений на основании (14.5) при пк = 2 будет иметь вид

  • 3. Основную систему получим введением одной угловой и одной линейной дополнительных связей (рис. 14.6, б).
  • 4. Последовательно зададим введенным дополнительным связям принудительные единичные смещения и покажем деформированные схемы основной системы, полученные в результате этих смещений (рис. 14.6, в и г). По деформированной схеме от угла поворота (см. рис. 14.6. в), используя схемы 1 (для ригеля) и 4 (для левой стойки) прил. 10, построим в основной системе эпюру . По деформированной схеме от линейного смещения (см. рис. 14.6. г), используя схемы 2 (для правой стойки) и 3 (для левой стойки) прил. 10, построим в основной системе эпюру М$.

Рис. 14.6

  • 5. Приложив к стержням основной системы заданную нагрузку, на основании схем 2 (для ригеля рамы) и 1 (для левой стойки) прил. 11 построим эпюру (рис. 14.6, 3).
  • 6. Определим реакции в дополнительных связях в следующей последовательности. Сначала определим реакции первого канонического уравнения, описывающего

статическое условие равенства нулю суммы реакций в угловой дополнительной связи.

Для этого вырежем узел вместе со связью (рис. 14.7, а), последовательно прикладывая к нему изгибающие моменты с эпюр М{ и Л/?, соответствующих трем расчетным состояниям. Из условия равновесия получим: ги = 9i кНм/рад, /*12 = - 9/ / 4 кН, RF = -72 кНм.

Рис. 14.7

Чтобы определить реакции второго канонического уравнения, описывающего статическое условие равенства нулю суммы реакций в линейной связи, для каждого из расчетных состояний рассмотрим отсеченную часть основной системы (сечения I—I, II—II и F— F, рис. 14.7, 6) и из условия их равновесия получим: r2i= _9/ / 4 кН/рад, /'22= 21/ / 16 кН/м, R2F = 15 кН.

Примечание. Так как реакции в угловых связях определяются проще, для определения числового значения реакции г21 удобнее воспользоваться теоремой о взаимности возможных реакций, т.е. г = г12.

7. Система канонических уравнений в числовом виде будет иметь вид

а ее решение — Z{=9 / i рад, Z2 = 4 / i м.

8. Построим эпюру изгибающих моментов в заданной схеме на основании (14.6):

Усилия от действительных смещений по направлению дополнительных связей приведены на рис. 14.8, а, а результат расчета (эпюры MF, QF и NF) на рис. 14.8, 6.

  • 9. Проверка равновесия жесткого узла по полученной эпюре MF в дайной задаче может быть сделана визуально, так как в узле сходятся всего два стержня.
  • К). Для проведения деформационной проверки определяем степень статической неопределимости рамы. При К =1, Ш = 1 ис = 3 • 1 - 1 = 2. Статически определимая основная система для рамы показана на рис. 14.9, а. В приведенной основной системе построим вспомогательную эпюру М® от действия сразу двух единичных моментов, приложенных по направлениям удаленных связей. Тогда

следовательно, деформационная проверка выполняется.

Рис. 14.9

  • 11. Эпюры Qf и Nf, строим по методике, приведенной в п. 11 и 12 табл. 13.1 и примера 13.2 (см. рис. 14.8, б).
  • 12. Выполним статические проверки расчета, рассмотрев равновесие всей рамы и предварительно определив но построенным эпюрам все опорные реакции (рис. 14.9, б).

Zx=0, 15,75 + 32,25 -48 = 0;

Хг=0, 41,625 + 30,375 - 9-8 = 0;

л = 0, 18 + 9 • 8 • 4 - 48 ? 2 + 33 - 30,375 • 8 = 339 - 339 = 0.

Таким образом, статические проверки также выполняются, следовательно, расчет произведен правильно.

Пример 14.2

Требуется построить эпюру изгибающих моментов Мг в раме, изображенной на рис. 14.10, а.

Относительные жесткости стержней рамы одинаковы, гак как 1,25EI/ 5 = EI / 4 =

Рис. 14.10

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости рамы в силу линейной неподвижности ее узлов пк = пу= 1. Следовательно, каноническое уравнение метода перемещений будет единственным:

  • 2. Основную систему получим введением одной дополнительной угловой связи (рис. 14.10, б).
  • 3. Деформированную схему основной системы от принудительного поворота дополнительной связи на угол, равный единице, и соответствующую ей эпюру Mj° (рис. 14.10, в), строим по схемам 1 (для наклонной стойки) и 4 (для ригеля) прил. 10 .
  • 4. Так как внешняя нагрузка является узловой и непосредственно воспринимается введенной дополнительной угловой связью (рис. 14.10, г), стержни основной системы не загружены, и, следовательно, в грузовом состоянии эпюра = 0.
  • 5. Реакции в дополнительной связи в обоих расчетных состояниях определим из условий равновесия (рис. 14.10, д):

г= 7/ кН м/рад, R/: = 56 кН м.

6. Запишем каноническое уравнение в численном виде: 7iZ{ + 56 = 0, откуда

Z, = -56 / И = - 8 / i рад.

7. Эпюру изгибающих моментов в заданной схеме рамы строим по формуле (14.6) при =0, т.е. MF = MfZj (рис. 14.10, е).

Пример 14.3

Требуется построить эпюру изгибающих моментов MF в раме, изображенной на рис. 14.11, а. Относительные жесткости стержней рамы:

  • — левой стойки i{ = EI / 4 = i;
  • — правых стоек i2 = 2El / 4 = 2i.

Ригель рамы имеет бесконечную жесткость при изгибе, поэтому узлы рамы не способны к повороту.

Решение. 1. Степень кинематической неопределимости рамы пк = пл= 1, так как узлы рамы поворачиваться не могут, а для ригеля за счет изгиба стоек рамы возможно одно горизонтальное линейное смещение. Следовательно, каноническое уравнение метода перемещений будет единственным:

Рис. 14.11

  • 2. Основную систему получим введением одной дополнительной линейной связи (рис. 14.11, б).
  • 3. Деформированную схему основной системы от принудительного смещения дополнительной связи на величину, равную единице, и соответствующую ей эпюру М,° (рис. 14.11, в) построим по схемам 2 и 3 прил. 10.
  • 4. Так как внешняя нагрузка является узловой и непосредственно воспринимается введенной дополнительной линейной связью, стержни основной системы не загружены, и, следовательно, в грузовом состоянии эпюра =0.
  • 5. Реакции в дополнительной связи в обоих расчетных состояниях определим из условий равновесия вырезанного замкнутыми сечениями ригеля (рис. 14.11, д)

Запишем каноническое уравнение в численном виде: 2,625iZj - 63 = 0, откуда

7. Эпюру изгибающих моментов в заданной схеме рамы строим но формуле (14.6) при Mf = 0, г.е. MF = MfZj (рис. 14.11, е). При этом эпюру изгибающих моментов на абсолютно жестком ригеле достраиваем по значениям в крайних сечениях, определенным из условий равновесия узлов.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>