Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Колебания упругих систем с одной степенью свободы

Рассмотрим невесомый консольный стержень с точечной массой, расположенной на конце этого стержня (рис. 15.3, а). При свободных колебаниях на массу т, отклонившуюся от первоначального положения на величину y(t), в любой момент времени будут действовать восстанавливающая сила R, сила неупругого сопротивления (диссипативная) 5 и сила инерции / (рис. 15.3, б).

Рис. 153

Восстанавливающая сил R — это сила упругого сопротивления, которой рассматриваемый стержень действует на массу, стремясь вернуть ее в исходное положение. В упругой системе восстанавливающая сила прямо пропорциональна отклонению массы y(t) и определяется выражением

где ги — коэффициент пропорциональности или коэффициент жесткости конструкции, зависящий от ее упругих свойств. Коэффициент жесткости — сила, которую необходимо приложить к конструкции по направлению колебания массы, чтобы вызвать ее перемещение, равное единице. Коэффициент жесткости есть величина, обратная податливости 8И (рис. 15.3, в):

Диссипативная сила S — сила, учитывающая неупругие сопротивления движению массы:

  • — силы внутреннего трения, возникающие из-за вязкости или неполной упругости материала конструкции;
  • — силы трения в местах соединения элементов конструкции и на опорах;
  • — силы сопротивления окружающей среды, в которой происходят колебания.

Точный учет всех перечисленных факторов ввиду их разнообразия и неопределенности не представляется возможным. Поэтому для их учета приняты различные гипотезы, из которых наиболее распространена гипотеза Кельвина — Фойгта. По этой гипотезе, называемой гипотезой вязкого трения, диссипативная сила принимается пропорциональной скорости колебаний:

где р — коэффициент пропорциональности или коэффициент сопротивления, определяемый экспериментально и характеризующий силу вязкого трения при скорости y{t) = 1.

Выделим массу со всеми действующими на нее силами и составим уравнение равновесия (сумму проекций на ось, параллельную движению массы). В результате получим

Подставив в формулу (15.8) выражения (15.4), (15.6) и (15.7), получим

Разделив данное выражение на т и введя обозначения получим

Выражение (15.11) называется дифференциальным уравнением движения точечной массы при свободных колебаниях.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>