Полная версия

Главная arrow Строительство arrow СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА ДЛЯ АРХИТЕКТОРОВ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Применение метода перемещений при расчете устойчивости плоских рам

Общие принципы использования метода

Метод перемещений получил широкое распространение при расчете строительных конструкций. Это объясняется тем, что для большинства расчетных схем, особенно рам, получить кинематически определимую основную систему значительно проще, чем статически определимую. Кроме того, метод перемещений удобен с точки зрения наглядности получения деформированных схем рассчитываемой конструкции. Особенно существенны эти преимущества при расчетах на устойчивость.

Основная система метода перемещений при расчете на устойчивость получается точно так же, как и при расчете на прочность. Но реакции в дополнительных связях определяются уже с учетом продольного изгиба по деформированной схеме.

Согласно принятым допущениям (см. параграф 16.1) в стержнях рамы, загруженной узловой нагрузкой, вплоть до момента потери устойчивости имеют место только продольные усилия. В этом случае, в силу особенности основной системы метода перемещений, свободные члены системы канонических уравнений равны нулю, и сама система уравнений становится однородной:

Однородная система уравнений (16.6) имеет, как известно, два решения.

  • 1. Все неизвестные Z, = 0 (г = 1, ..., п). Это свидетельствует о том, что нагрузка еще не достигла критического значения, и рама находится в состоянии первоначального устойчивого равновесия.
  • 2. Все неизвестные Z, * 0 (i = 1, ..., п). В этом случае должен равняться нулю определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений:

Выражение (16.7) является уравнением устойчивости в общем виде на основе метода перемещений. Раскрывая определитель, получим уравнение устойчивости в развернутом виде, которое служит для определения критических параметров, через которые выражена критическая нагрузка.

Для определения реакций в дополнительных связях от принудительных единичных смещений связей в основной системе метода перемещений необходимо учесть влияние продольных сил в центрально сжатых стержнях. Эта задача решается методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня.

Рассмотрим прямолинейный стержень ЛВ (рис. 16.8, а), жестко защемленный нижним концом и шарнирно опертым верхним. Определим опорные реакции в этом стержне, вызванные единичным углом поворота его защемления (рис. 16.8, б). Равновесное состояние стержня при таком воздействии показано на рис. 16.8, в.

Рис. 16.8

По полученному для стержня равновесному состоянию определяем изгибающий момент в произвольном сечении с координатами х и у

Подставив полученное выражение изгибающего момента в дифференциальное уравнение (10.19), получим

Введя обозначение а2 = F / EI, представим дифференциальное уравнение в канонической форме:

Полученное уравнение представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, получение решения для которого было приведено в примере 16.3:

а его производная

Уравнение (б), кроме произвольных постоянных 6) и С2, содержит неизвестную величину реакции R. Для их определения используем граничные условия по концам сжато-изогнутого стержня:

  • 1) при х - 0 у = 0, следовательно, Сх - 0;
  • 2) при х-1у - 0, следовательно,

3) при х = I у' = — 1, следовательно,

Решив совместно уравнения (в) и (г) относительно R, получим

Выражение (16.8) удобно представить в виде, подобном используемому при решении задач прочности (см. схему 2 прил. 10). Для этого введем обозначение

Тогда

R = y

а изгибающий момент в защемлении (рис. 16.9, в) будет

Эпюра изгибающих моментов, соответствующая рассмотренному состоянию стержня, показана на рис. 16.8, г.

В выражениях (16.10) и (16.11) ф, — трансцендентная функция, содержащая критический параметр V.

Аналогично определяемые реакции по концам стержней для других вариантов закреплений и смещений представлены в прил. 12, а значения соответствующих трансцендентных функций в пределах от 0 до 2л - в прил. 13. Для удобства использования всем значениям реакций придан вид, применяемый при решениях задач прочности (см. прил. 10).

Таким образом, определитель (16.7) будет содержать трансцендентные функции (см. прил. 13), а развернутое уравнение устойчивости, полученное после его раскрытия, будет содержать множество корней, из которых необходимым является минимальное ненулевое значение критического параметра v.

В общем случае параметр v, определяемый выражением (16.1), зависит от длины стержня /, силы F, действующей на стержень, и жесткости ?7, поэтому для различных стержней расчетной схемы он может быть различным. На основании допущения об одновременном возрастании всех нагрузок, дающего соотношения между всеми действующими силами, легко выразить все параметры v, через какой-нибудь один из них. Тогда все коэффициенты rik определителя (16.7) будут функциями только одного параметра.

Рис. 16.9

Например, на раму, изображенную на рис. 16.9, имеющую разные длины стержней, разные жесткости, действуют разные сжимающие силы F{ и F2, а сила F задана в виде известной величины.

Согласно формуле (16.1) значения критических параметров для стержней 1 и 2 рамы будут следующими:

где критический параметр для стержня 2 принят в качестве общего множителя. Если обозначить а = hx/h2; b = Fx / F2c = EI{ / EI2, то получим, что

Учет силы F с наперед заданным значением производится введением в расчет трансцендентных функций, определенных но числовому значению параметра, т.е.

Пример 16.4

Требуется определить критическую силу и расчетную длину центрально сжатого стержня для схемы, показанной на рис. 16.10, а, и сравнить полученные значения с результатами расчета примера 16.3.

Рис. 16.10

Относительные жесткости стержней схемы:

  • — стойки ц = El /1= i
  • — ригеля i2 = 2EI / 1= 2i.

Решение. 1. Расчетная схема имеет один жесткий узел, закрепленный от горизонтальных и вертикальных смещений, следовательно, пк= 1.

  • 2. Уравнение устойчивости на основании (16.7) при пк = 1 имеет вид ги = 0.
  • 3. Основная система, полученная введением одной угловой связи, показана на рис. 16.10, 6.

А. Зададим введенной дополнительной связи принудительное единичное смещение (угол поворота), покажем деформированную схему основной системы от этого смещения (рис. 16.10, в) и построим в основной системе эпюру М] (рис. 16.10, г). При этом для ригеля схемы, не испытывающего влияния сжимающих сил, эпюру изгибающих моментов строим по схеме 1 прил. 10, а для сжатой вертикальной стойки — по схеме 1 прил. 12.

  • 5. Из условия равновесия реакция в дополнительной связи ru = 3/cpt (v) + 6/.
  • 6. Подставив значение гп в уравнение устойчивости, получим, что cpj(v) = -2. По прил. 13 находим v = 3,973. Это значение совпадает с результатом примера
  • 16.3, но само решение методом перемещений значительно проще.
  • 7. Величина критической силы согласно формуле (16.2)

а расчетная длина стержня согласно формуле (16.5)

Пример 16.5

Требуется определить критическую силу и расчетную длину сжатой стойки в раме с абсолютно жестким ригелем (рис. 16.11, а).

Рис. 16.11

Относительные жесткости стержней схемы:

  • — левой стойки ц = 2El / h = 2/;
  • — правой стойки i2 = El / h = i.

Решение. 1. Рама обладает линейной подвижностью ригеля, узлы которого не способны к повороту, следовательно, пк = 1.

2. Уравнение устойчивости на основании формулы (16.7) при пк= 1 имеет вид

Г11 = О-

  • 3. Основная система, полученная введением одной линейной связи, показана на рис. 16.12, 6.
  • 4. Зададим введенной дополнительной связи принудительное единичное смещение, покажем деформированную схему основной системы от этого смещения (рис. 16.11, в) и построим в основной системе эпюру М® (см. рис. 16.12, в). Для правой стойки схемы, не испытывающей влияния сжимающей силы, эпюру изгибающих моментов строим по схеме 2 прил. 10, а для сжатой левой стойки — по схеме 4 прил. 12.
  • 5. Реакция в дополнительной связи из условия равновесия отсеченного ригеля основной системы (рис. 16.11, г)

Подставляя значение ги в уравнение устойчивости, получим г|2(у) = -0,125. По прил. 13 находим v = 3,32.

6. Величина критической силы согласно формуле (16.2) Fcr = 3,322 • 2ЕЛ / h2 = = 22,04ЕЛ /2, а расчетная длина стержня согласно формуле (16.5) /() = (к / 3,32)/? = = 0,946/?.

Пример 16.6

Требуется определить критические силы и расчетные длины стоек рамы, приведенной на рис. 16.12, а, при следующих данных: / = h = 6,0 м, EI = 1500 кН м2.

Относительные жесткости стержней рамы, приведенные к единому множителю:

  • — левой стойки ?, = 2EI / h = 2?;
  • — средней стойки i2 = EI / h = i;
  • — правой стойки /3 = 1,5?7/ h = 1,5?’;
  • — ригеля правого пролета ?4 = ?///? = ?.

Решение. 1. Рама имеет один жесткий узел, способный к повороту при деформации рамы, и ее ригель может перемещаться по горизонтали. Следовательно, степень кинематической неопределимости рамы пк = 2.

  • 9 VmpuouHP ^тпиииплгты hq ^ыовании (16.7) при пк = 2 имеет вид
  • 3. Основная система, полученная введением одной угловой и одной линейной дополнительных связей, показана на рис. 16.12, 6.
  • 4. Установим соотношения между критическими параметрами сжатых стоек рамы.

Рис. 16.12

  • 5. Последовательно зададим введенным дополнительным связям принудительные единичные смещения, покажем деформированные схемы основной системы от этих смещений (рис. 16.12, в, г) и построим в основной системе эпюры Mj° и Л/J, используя для ригеля по схемам прил. 10, а для стоек — прил. 12.
  • 6. Определим реакции в дополнительных связях от единичных смещений:

rn = 3/‘ + 6/(p2(l,2v) (рис. 16.12, Э);

r12 = -l,5/(p4(l,2v) (рис. 16.12, е)

r22=-^^2(t8) + |^ni(v) + ^-ri2(1.2v) (рис. 16.12, ж).

7. Подставим полученные значения коэффициентов при неизвестных в уравнение устойчивости. Учтем, что rj2( 1,8) = 0,6749 (см. прил. 13). После сокращения на 3/ / И2

и простейших алгебраических преобразований получим уравнение устойчивости в развернутом виде:

[1 + 2ср2(1,2v) • [8 • 0,6749 + r|, (v) + 6r|2(l,2v)] - [3(p4 (1,2v)]2 = 0.

Решив полученное уравнение устойчивости методом подбора (см. прил. 13), найдем минимальное значение параметра v = 2,73.

  • 8. Найдем значения критических сил по формуле (16.2) и расчетные длины по формуле (16.5):
    • — для средней стойки
  • 42) = 2.73M 500 / 62 = 310,54 кН;

/02 =71-6/2,73 = 6,9 м;

  • — для правой стойки
  • 43) = (1,2• 2,73)2 • 1,5 • 1500/62 = 670,76 кН;

/03 =я-6/( 1,2• 2,73) = 5,75 м.

9. Проверяем сохранность соотношения между полученными значениями критических сил: = 670,76 / 310,54 = 2,16.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>