Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

  • • понятия частоты и периода собственных колебаний как незыблемых характеристик свойств конструкции или здания;
  • • коэффициент поглощения как безразмерную величину;

уметь

  • • правильно использовать частоты и периоды в динамических расчетах;
  • • предусматривать возможности резонанса при расчетах на вибрационное воздействие;

владеть

  • • методами расчета на вибрационные воздействия;
  • • навыками оценки динамического воздействия через динамический коэффициент.

Изучение основ расчета строительных конструкций при динамическом воздействии целесообразно начать с простейшей системы, каковой является система с одной степенью свободы. Такой подход облегчает усвоение физического смысла рассматриваемого явления. Примером системы с одной степенью свободы может служить консольная балка (см. рис. Д.2, 6) или рама (см. рис. Д.З, в).

Свободные колебания без учета причин, вызывающих рассеяние энергии

Если любую систему из названных выше упругих систем вывести из состояния равновесия (например, ударить по ней или оттянуть массу и внезапно отпустить), она будет совершать так называемые свободные колебания около положения статического равновесия за счет своих упругих свойств. Свободными называются колебания, совершаемые без поступления энергии извне, т.е. при отсутствии внешнего воздействия.

Рассмотрим невесомую балку, масса которой сосредоточена в ее середине и но ее концам (рис. 1.1, я). Крайние массы при поперечных колебаниях не будут смещаться, поэтому достаточно только одной связи, чтобы закрепить массу. Следовательно, рассматриваемая система имеет только одну степень свободы. Ее расчетная схема приведена на рис. 1.1,6.

Построим математическую модель свободных колебаний этой системы.

Эту задачу можно решить с помощью дифференциального уравнения второго рода Ж. Л. Лагранжа. Здесь же получим уравнение движения массы исходя из физического смысла задачи на основании принципа Даламбе- ра. В соответствии с этим принципом если в любой момент времени к физическим силам, действующим на рассматриваемую конструкцию, приложить все относящиеся к ней даламберовы силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно применить все уравнения статики. Это так называемый метод кинетостатики.

При свободных колебаниях на массу, отклонившуюся от положения равновесия на величину y(t), в любой момент времени будут действовать восстанавливающая сила S, сила неупругого сопротивления R и даламберо- ва сила инерции J (рис. 1.1, в, г), вообще-то, приложенная к балке. Но поскольку масса балки сведена в середину пролета, то условно можно считать, что сила инерции тоже приложена к массе.

Восстанавливающая сила S — это сила упругого сопротивления, с которой балка действует на массу, стремясь вернуть ее в первоначальное положение статического равновесия (см. рис. 1.1, в, г). В линейно деформируемой системе восстанавливающая сила прямо пропорциональна отклонению массы от положения равновесия y(t) и определяется выражением

где гп — коэффициент пропорциональности, или коэффициент жесткости конструкции, определяемый ее упругими свойствами.

Коэффициент жесткости — это сила, которая, будучи приложена к конструкции по направлению колебания массы, вызывает перемещение, равное единице.

Балка как система с одной степенью свободы

Рис. 1.1. Балка как система с одной степенью свободы

Назначение индексов — такое же, как и в методе перемещений. Жесткость, как известно, является обратной величиной по отношению к податливости, т.е.

где 8П — коэффициент податливости, или, что то же самое, перемещение от единичной силы.

В нервом приближении решим задачу без учета сил неупругого сопротивления R. В результате на массу при колебаниях будут действовать только две силы S и/. Скорость колебаний массы будет максимальной при прохождении ее через положение равновесия и равной нулю — в крайних положениях (см. рис. 1.1, в, г). При переходе массы из положения равновесия в крайнее положение происходит замедление движения, т.е. ускорение будет направлено всегда, как п восстанавливающая сила, к положению не- деформированного состояния. Даламберова же сила инерции, как следует из ее определения (Д.4), всегда будет направлена в сторону, противоположную ускорению, т.е. от положения равновесия.

Если теперь выделить часть стержня с массой и составить уравнение равновесия (сумма проекций всех сил па ось, параллельную линии движения массы), то получим

Подставим в это равенство значения сил:

Чтобы найти выражение для прогиба, перенесем второй член вправо, разделим все на жесткость г,, и, учитывая формулу (1.1), получим

Разделим уравнение (1.2) на т, и введем обозначение

В результате получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка

Решение этого уравнения будем искать в виде

Подстановка выражения (1.6) в уравнение (1.5) и сокращение на величину ек' приводят к характеристическому уравнению

Корни этого уравнения: k{ = со,>/^4 = /со, и k2 —со, V—Т —/со,.

Таким образом, решение уравнения (1.5) будет состоять из двух членов с двумя произвольными постоянными D, и D,: г/,(?) = Diei't + П2е >‘.

С помощью формулы Эйлера

преобразуем решение к следующему виду:

Введем новые обозначения для произвольных постоянных: D, + !)., = А и (D, - D2)i = В. В итоге будем иметь

Скорость колебаний а, массы тл определяется первой производной по времени от этого выражения:

Произвольные постоянные определим из начальных условий.

Пусть при t = 0, yx(t) = у{0 и vx(t) = а10. Подставим эти значения в выра-

vi0

жения перемещения и скорости: у{0 = Л, а10 = со,Л, откуда В = —.

со,

С этими значениями постоянных окончательное выражение для перемещения примет вид

Если принять, что в начальный момент времени при t = 0 у{0 = 0, то выражение (1.10) будет короче:

Из выражения (1.11) следует, что выведенная из состояния покоя масса будет совершать простые гармонические колебания относительно положения равновесия. График этой функции приведен на рис. 1.2. Из графика ясно, что наибольшее отклонение массы от положения равновесия равно по-

и 010 'Ч

стояниои величине —, которая называется амплитудой. со.

График перемещений массы во времени при свободных колебаниях

Рис. 1.2. График перемещений массы во времени при свободных колебаниях

Удвоенная амплитуда называется размахом колебаний.

Время Tv за которое масса совершает полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Из графика на рис. 1.2 очевидно, что

Число полных циклов колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.

2 к

Из формулы (1.12) получаем, что cOj = —- рад/с — число колебаний за

м

время 2тг секунд. Эта частота называется угловой. В системе с одной степенью свободы она определяется по формуле (1.4):

Число колебаний в одну секунду измеряется в герцах (Гц). Через угло-

°0i

вую частоту частота в герцах выражается следующим образом: ф = —— с .

2п

Во всех уравнениях движения масс присутствует угловая частота. Частота в герцах часто приводится в справочниках, поэтому при использовании последних следует быть внимательными.

В инженерной практике нередко используется так называемая техническая частота — число оборотов или циклов колебаний в минуту. Ее можно выразить через угловую частоту:

Частота и период колебаний являются основными характеристиками при расчете конструкций на динамические воздействия.

Решение (1.8) можно представить в ином виде через начальную фазу колебаний, если ввести произвольные постоянные А = Л^шу,, В = ^jcosv,, где Л, амплитуда колебаний; начальная фаза колебаний.

В результате получим yx{t) = Л/sin Vj cos со/ + cos Vj sin со/). Это выражение представляет собой синус суммы двух углов:

Для наглядности гармонических колебаний можно использовать круговую диаграмму (рис. 1.3) [3]. С этой целью на плоскости вводится вектор длиной Av который вращается с постоянной угловой скоростью, равной со, (отсюда происходит термин «угловая частота»). Начальное положение вектора задается углом v,. Проецируя вектор на вертикальную ось, получим закон движения в форме (1.15). Значения Л, и v, можно выразить через Л и В:

Круговая диаграмма простых гармонических колебаний

Рис. 1.3. Круговая диаграмма простых гармонических колебаний

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>