Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Примеры определения частоты свободных колебаний

Пример 1.1. Определим угловую частоту и период свободных колебаний сосредоточенного груза весом G = 40 кН, расположенного на балке (рис. 1.4, а) [13].

Определение перемещения под грузом

Рис. 1.4. Определение перемещения под грузом

Собственный вес балки, выполненной из двутавра N30a, не учитывается. Момент инерции поперечного сечения балки в направлении изгиба I = 8950 см4 = 895 ? 10 8 м4, модуль упругости Е = 20,6 • 10s кН ? м2.

Решение

Угловая частота определяется по формуле (1.13). Для ее определения необходимо вычислить 6И — перемещение от единичной безразмерной силы, приложенной по направлению колебания массы (рис. 1.4, б). Это перемещение вычисляется по формуле Мора путем «перемножения» эпюр по способу Верещагина:

Эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 1.4, в. С учетом выражения (Д.З)

По формуле (1.12) определяется период колебаний:

Пример 1.2. Определим угловую частоту и период колебаний груза G = 30 кН, подвешенного на конце консольной фермы (рис. 1.5, а).

Стержни фермы выполнены из двух уголков 75x75x6 (Л = 2 -8,78 см2), Е = = 2,06-108 кН/м2. Собственный вес фермы нс учитывается.

Статически определимая консольная ферма

Рис. 1.5. Статически определимая консольная ферма

Решение

Так как перемещение сосредоточенного груза в горизонтальном направлении ограничено, то остается только одна степень свободы — в вертикальном направлении. Перемещение 6П вычисляется по формуле Мора:

Эпюра продольных сил от единичной силы, приложенной но направлению перемещения груза, приведена на рис. 1.5, б.

Пример 1.3. Определим угловую частоту и период свободных колебаний сосредоточенного груза весом G = 30 кН, расположенного посередине горизонтального участка балки с осью ломаного очертания (рис. 1.6, а). Жесткость балки Е1= 7200 кП ? м2. Жесткость упругонодатливой опоры г = 400 кН/м. Собственный вес балки не учитывается.

Расчет статически неопределимой системы методом сил

Рис. 1.6. Расчет статически неопределимой системы методом сил

Число степеней свободы равно единице. Угловую частоту определим по формуле (1.13). Перемещение 5П вычисляется в заданной системе (рис. 1.6, ж) по формуле Мора. Но поскольку система статически неопределима, то для построения эпюры Мх необходимо использовать один из методов расчета статически неопределимых систем.

Степень статической неопределимости: яс = ЗК-Ш = 3-2-5=1. Здесь К — число замкнутых контуров плоской системы; Ш — число удаленных связей или число простых шарниров.

Степень кинематической неопределимости: пк = пу + пл = 1 + 1 = 2. Здесь пучисло поставленных угловых связей; пл число поставленных линейных связей.

Поэтому для построения эпюры М, логично использовать метод сил.

Основная система метода сил показана на рис. 1.6, б. Каноническое уравнение метода имеет вид б^Х, + Jf = 0.

Для определения перемещений 8*}, и б*},.-в основной системе строятся эпюры М,° от X, = 1 (рис. 1.6, в, г) и Мр от F = 1 (рис. 1.6, д} е). Перемещение 5^ будет состоять из двух частей (см. рис. 1.6, в): 6°, = 5^ + б^,, где б';, (за счет упругих свойств балки) определяется по формуле Мора, б/|, (вследствие деформации пружины) — исходя из зависимости (1.1). Итак,

Эпюра изгибающих моментов от F= 1, построенная по формуле М, = МхХх + изображена на рис. 1.6, з.

Как известно, при определении перемещений в статически неопределимой системе по формуле Мора одну из эпюр можно построить в любой статически определимой системе, полученной из заданной. Следовательно, для определения 6,, можно перемножить эпюры М, и М°г Полученная величина суммируется с перемещением, вычисленным за счет податливости опоры:

Пример 1.4. Определим угловую частоту и период свободных колебаний сосредоточенного груза весом G = 30 кН, расположенного на конце консоли статически неопределимой рамы (рис. 1.7, а). Поперечные сечения всех стержней рамы одинаковы (EI = 9000 кНм2), собственный вес рамы не учитывается.

Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений

Рис. 1.7. Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений

Решение

При принятых допущениях (см. рис. Д.З) учитываются только вертикальные колебания. Следовательно, число степеней свободы равно единице.

В направлении возможных колебаний груза приложим единичную силу F = 1 и определим перемещение 8П (рис. 1.7, б). С этой целью в заданной системе построим эпюру М] от F = 1, используя метод перемещений, гак как в данном случае число неизвестных метода перемещений, или степень кинематической неопределимости, пк = пу + пл = 1 + 0 = 1 меньше, чем степень статической неопределимости ис= 3* 1 - 1 = 2.

Основная система метода перемещений показана на рис. 1.7, в. Каноническое уравнение метода перемещений ruZ, + rtF = 0.

Реакции в дополнительной связи ги и rlf определим по эпюрам М,° от Z, = 1 и MF от F= 1 (рис. 1.7, г—е).

Путем составления уравнений равновесия для вырезанной дополнительной связи определяются коэффициент ru = 2EI и свободный член rlF= 2. В итоге имеем

Эпюра изгибающих моментов от F = 1, построенная но формуле М, = MJ’Z, + MJ1, представлена на рис. 1.7, ж.

С целью упрощения вычисления 5П построим эпюру М, в статически определимой системе от единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения (рис. 1.7, з):

Упражнение 1.1. Определите угловую частоту и период колебаний массы, изображенной на рис. 1.8.

Система с одной степенью свободы

Рис. 1.8. Система с одной степенью свободы

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>