Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Вынужденные колебания при действии вибрационной нагрузки

Вынужденными называются колебания, которые вызываются переменными внешними воздействиями.

Наиболее часто в инженерной практике приходится иметь дело с гармоническим воздействием (Д.1) (см. рис. Д.1, б). В выражении (Д.1) представлена обобщенная сила, вместо которой может быть или вибрационный момент, или распределенная нагрузка, или их комбинации. При действии нескольких сил в одном решении с целью упрощения задачи предполагается, что все они имеют один закон изменения во времени (начинают действовать в одно и то же время и с одной и той же частотой 0) и отличаются лишь амплитудами. Если на практике это условие не удовлетворяется, то для каждого воздействия выполняют свой расчет, а затем па основании принципа независимости действия сил результаты суммируют для определенных моментов времени.

При постановке задачи опять воспользуемся принципом Даламбера. К части стержня с массой (см. рис. 1.1, в, г) приложим дополнительно возмущающую силу, направленную в сторону от положения равновесия. В итоге в уравнении (1.17) появится дополнительный член: S + R -J - fsin0? = 0.

Подставим сюда значения сил и перенесем член, представляющий нагрузку, вправо как известную величину:

Разделим все члены на /л, и введем принятые ранее обозначения:

В итоге получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. При решении уравнения (1.28) ограничимся рассмотрением случая малых сопротивлений, когда а, < со,.

Полное решение уравнения (1.28) состоит из решения однородного уравнения и частного решения, учитывающего вид нагрузки. Решение однородного уравнения дано выражением (1.23), где (оа заменим на со,.

Частное решение будем искать в виде

Тогда

Подставим эти значения в уравнение (1.28) и сгруппируем его члены при sin Qt и cos0?:

Чтобы это уравнение удовлетворялось при любых значениях ?, необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю коэффициенты при cos0? и sin0^. В результате получаем два уравнения с двумя неизвестными С и D:

Решая эту систему уравнений, получим

где

Итак, полное решение уравнения (1.28) примет вид

Выражение (1.31) показывает, что движение массы в рассматриваемом случае состоит из свободных затухающих колебаний с частотой со,, зависящих от начальных условий, и вынужденных колебаний, совершаемых с частотой возмущающей силы 0.

Свободные колебания относительно быстро затухают.

Период времени, в течение которого совместно существуют вынужденные и затухающие колебания, называется переходным.

Далее будут иметь место установившиеся вынужденные колебания, когда масса колеблется с частотой возмущающей силы.

Рассмотрим вначале ради простоты изложения установившиеся колебания без учета диссипативных сил, т.е. возьмем решение (1.31) при А = В = = 0:

Учитывая соотношение (1.4), заменим coj и введем обозначение уст= F5Uстатическое перемещение массы от амплитудного значения возмущающей силы. В результате получим

Отношение какой-либо величины, в частности перемещения, полученной при динамическом расчете, к ее значению, полученному при статическом расчете, называется динамическим коэффициентом, т.е.

Максимальное значение динамического коэффициента будет иметь место при sin 0^ = 1:

Динамический коэффициент играет важную роль при расчете систем с одной степенью свободы, когда возмущающая вибрационная сила приложена по направлению перемещения массы. Тогда максимальные перемещения и усилия определяются выражениями

Как очевидно из выражения (1.33), динамический коэффициент зависит от соотношения частот вынужденных и собственных колебаний. На рис. 1.11 изображен график этой зависимости.

График изменения динамического коэффициента

Рис. 1.11. График изменения динамического коэффициента

График показывает, что при 0 < со, минимальное значение р = 1. При возрастании 0 коэффициент р тоже увеличивается, но колебания происходят в той же фазе (направления силы и перемещений совпадают). Однако когда величина частоты вынужденных колебаний приближается к значению частоты свободных колебаний, динамический коэффициент резко возрастает, И При 0 = COj р —? оо.

Это явление, когда совпадают частоты вынужденных и собственных колебаний, называется резонансом.

Резонанс исключительно опасен для строительных конструкций, так как при нем резко увеличиваются перемещения и усилия. В связи с этим при практических расчетах из-за неточности вычислений частот вводится не просто резонансная частота 0 = со,, а зона резонансной частоты:

где е = 0,15-^0,35 в зависимости от класса ответственности сооружения.

При 0 > со, динамический коэффициент уже будет иметь вид

т.е. при резонансе происходит сдвиг по фазе на величину л (направления силы и перемещений будут противоположными), причем при 0 = COj сдвиг по фазе равен 0,5л.

В случае, когда частота возмущающей силы значительно превосходит сор динамический коэффициент стремится к нулю.

Изложенная теория не отражает реального поведения конструкций, так как на практике если резонанс и приводит к разрушению конструкции, то происходит это только с течением времени, а нс мгновенно. Это можно доказать, если учесть собственные колебания. Для простоты изложения примем, что а, = 0, т.е. не будем учитывать затухание колебаний. В этом случае решение (1.31) примет вид

Допустим, что в начальный момент времени масса была неподвижной, т.е. при t = 0 у = у() = 0, у = v0 = 0.

Определим произвольные постоянные Л и В из этих начальных условий. Предварительно получим выражение для скорости путем дифференцирования выражения (1.35) по времени:

После подстановки начальных условий получим у0 = А = 0,

Из последнего выражения получаем Подставим значения А и В в уравнение (1.35):

Теперь получим выражение для yx(f) при резонансе, т.е. при 0 = со,.

0

В этом случае имеет место неопределенность вида - Раскроем ее по правилу Лопиталя. С этой целью возьмем первые производные по 0 для числителя и знаменателя отдельно. Получим

Если сюда подставить 0 = со,, то получим

или после замены со^ через податливость 8П:

При ? —? °о можно пренебречь первым слагаемым в скобках, ввиду того что оно не может быть больше единицы. Тогда

Из уравнения очевидно, что при резонансе происходит сдвиг по фазе на к/2, т.е. перемещения достигают наибольшей величины в те моменты, когда сила обращается в нуль, и наоборот, что и происходит, например, при раскачивании качели.

Движение, описываемое уравнением (1.37), уже не является простым гармоническим колебанием, поскольку амплитуда колебаний не является постоянной величиной, а возрастает пропорционально времени, стремясь к бесконечности при t —* 00 (рис. 1.12).

График колебаний при резонансе

Рис. 1.12. График колебаний при резонансе

Как показывает практика, неограниченного возрастания амплитуды во времени не бывает из-за наличия диссипативных сил, которые в изложенном выше решении не учитывались. Более того, при больших перемещениях становится неприемлемой линейная теория колебаний, излагаемая в этой книге.

С целью учета диссипативных сил возьмем решение (1.31). Произвольные постоянные А и В определим из начальных условий, представленных ранее. Предварительно получим выражение для скорости путем дифференцирования выражения (1.31) но времени:

Подставив в решение (1.31) и в выражение скорости t = 0, получим

Из этих равенств находим произвольные постоянные Л и В:

После подстановки постоянных Л н В решение (1.31) примет вид

В формуле (1.38) вынужденные колебания представлены вторым членом. Поэтому при установившихся колебаниях будем иметь

Для дальнейших преобразований введем обозначения:

В новых обозначениях выражение (1.39) запишется следующим образом:

В формуле (1.40) выражение в скобках представляет собой синус суммы двух углов, т.е.

с учетом диссипативных сил, влияние которых представлено вторым членом под корнем в знаменателе.

На рис. 1.13 показан график зависимости динамического коэффициента от соотношения частот вынужденных и свободных колебаний при различных значениях относительного коэффициента, учитывающего неупругое сопро-

ai

тивление, аот = —. График на рис. 1.13 показывает, что диссипативные силы

СО.

График изменения динамического коэффициента при учете диссипативных сил

Рис. 1.13. График изменения динамического коэффициента при учете диссипативных сил

значительно влияют на динамические перемещения и усилия конструкции в зоне резонанса. Но так как проектирование строительных конструкций при установившихся колебаниях не допускает резонанса, то в первом приближении их динамический расчет можно проводить без учета сил неупругого сопротивления, что и предлагается в справочнике [24] при отличии частоты вынужденных колебаний на 10% от ближайшей частоты свободных колебаний.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>