Полная версия

Главная arrow Строительство arrow ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>

Ортогональность главных форм колебаний

Как и в системе с одной степенью свободы, амплитуды колебаний ак) остаются неопределенными. Из однородных уравнений их определить невозможно, однако легко найти их соотношение. С этой целью нужно задаться значением какой-либо амплитуды, приняв ее, например, равной единице, и перенести соответствующий столбец вправо. Вследствие такой операции система уравнений (2.6) становится уже неоднородной, допускающей возможность определения значений других амплитуд. При этом достаточно решить систему (п - 1) уравнений (любых), так как одно значение akj уже задано. Подобные решения можно получить для каждого значения А-.

Полученные значения akj, одно из которых равно единице (другие могут быть больше и меньше единицы), позволяют построить формы колебаний системы для каждого значения h (и соответственно, со;). Таким образом, каждой частоте свободных колеоаний соответствует своя форма колебаний. Набор значений akj называется собственным вектором матрицы А, а А; — ее собственным значением. Совершенно очевидно, что если количество Xj равно п, то столько же будет собственных векторов. Собственные векторы представляют главные формы колебаний, когда все массы колеблются с одной и той же частотой.

Для определения векторов при п > 3 можно воспользоваться, например, системой МЛТЬЛВ, в которой для этой цели есть специальная операция ([v, d | = eig(A)). Естественно, предварительно набирается матрица А. Элементы матрицы вводятся по строкам. Между ними оставляются пробелы, в конце строки — точка с запятой. В результате операции на экран выдается диагональная матрица d собственных значений и матрица v, столбцы которой и представляют нормированные собственные векторы матрицы А.

Вектор называется нормированным, если сумма квадратов его элементов (или координат) равна единице, т.е.

Главные формы колебаний обладают удивительным свойством, которое до сих пор используется при решении задач строительной механики. Они являются взаимно ортогональными.

Ортогональность главных форм колебаний заключается в том, что возможная работа инерционных сил, соответствующих одной из главных форм колебаний, на перемещениях других главных форм колебаний равна нулю.

Для доказательства этого положения рассмотрим две главные формы колебаний с частотами со; и со,,.

На основании теоремы о взаимности возможных работ запишем

Подставим сюда значения сил инерции, которые при значениях ypj, определяемых выражениями (2.3), будут иметь вид Jpj = -трур? = трФ~ур-.

В итоге получим

Перенесем все члены влево от знака равенства и вынесем из-под знака суммы члены, не зависящие от р:

Если со # со*, то полученное равенство возможно только в том случае, когда

Это и есть условие ортогональности. Так как соотношения перемещений при главных формах колебаний остаются постоянными в любой момент времени, в том числе и при sin(co^ + v;) = 1, то в условии ортогональности

(2.10) перемещения можно заменить амплитудами:

Например, для системы с двумя степенями свободы (п = 2) условие

(2.11) в развернутой записи будет иметь вид

Здесь арк и apj определяются из уравнений типа (2.6) указанным выше способом.

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ ПОСМОТРЕТЬ ОРИГИНАЛ   >>